÷ƒ’À;è TeX output 2012.10.07:0942‹ÿÿÿÿ x€� ý¤€ =€� ýç€�‘]—×óX«Q cmr12¹Diagonal–ê¨h�¬rypšSŽersurfaces“and“the“Blo˜c�¬rh-Kato“conjectureޤ€�’¥óaSir–ê¨Pš¬reter“Swinnerton-Dy˜erŽŸ j'�‘8Ÿô1.󛻈@ cmti12ºIntr–ÿffo“duction‘fǹThe–�researc�¬rh›�rep�SŽorted“in˜this“pap�SŽer˜re ects“a˜desire“toŽ¡�‘'study–«&the“L-function“assošSŽciated“with‘«'the“nonsingular“h�¬ryp˜ersurface“ó·ág£ cmmi12½W‘÷¹=‘UR½W�ŸÌÌó×2cmmi8¾m;nŽŽ¡�‘'¹in–ê¨ó!ÂÖN  cmbx12ÌP�Ÿû¥2¾mŽ‘ ïl¹de ned“o•¬rv“er–ê¨ÌQ“¹whicš¬rh“is“giv˜en“b˜y“the“equationޤyð��’­ØQ½a�ŸÌÌó|{Ycmr8»0Ž‘À½X�Ÿû ™�‘ñƒ¾nŽŸëÚ�»0ŽŽ‘ D{¹+�‘ª¨½:–ÿþ:“:Ž‘ð¹+‘ª¨½a�ŸÌ̾mŽ‘ĽX�Ÿû ™�‘ñƒ¾nŽŸëÚ�mŽŽ‘ Z¹=‘UR0Ž��’�ü|(1)ŽŽŽ¡�‘'where›I¨½m–UR>“¹1˜and˜½n“>“¹2.‘5Here˜w•¬re˜can˜tak“e˜the˜½a�ŸÌ̾iŽ‘®‚¹to˜b�SŽe˜nonzero˜in“tegers.‘5Theޤ€�‘'only–¥ìsucš¬rh“L-functions“whic˜h“are‘¥íin˜teresting“are“those“in“middle“dimension.Ž¡�‘'The–Ä~b�SŽehaš¬rviour“of‘Ä}these“at“in˜tegral“v‘ÿXäalues“of›Ä}½s“¹is“the“sub‘§ject“of˜the“T‘ÿVate“con-Ž¡�‘'jecture–T|and›T{the“Blo�SŽc�¬rh-Kato“conjecture.‘ÑThough˜b�SŽoth“of“these˜w�¬rere“originallyŽ¡�‘'stated–ê¨abšSŽout“v‘ÿXäarieties,“it“app˜ears“that“they“are“b˜oth“really“ab˜out“motiv�¬res.Ž¡�‘8ŸôLet–²ð½V‘O`¹b�SŽe“a“complete“nonsingular“v‘ÿXäarietš¬ry‘²ïde ned“o˜v˜er“ÌQ¹.‘‘¸The“out˜w˜ardŽ¡�‘'and–Éñvisible›Éòsign“of˜a“motiv�¬re˜asso�SŽciated“with˜½V‘fa¹is˜a“subspace˜of“the˜cohomol-Ž¡�‘'ogy–Kspace‘Jwhicš¬rh“is“mapp�SŽed“in˜to‘Jitself“b˜y“ev˜ery‘JF‘ÿVrob�SŽenius“map.‘yÈHence“thereŽ¡�‘'is– `an“L-series“attacš¬rhed‘ _to“an˜y“motiv˜e,‘¯;and“an˜y“L-series“b�SŽelonging‘ _to“½V‘<йis“theŽ¡�‘'prošSŽduct–áof“the“L-series“b˜elonging‘âto“the“irreducible“motiv�¬res“asso˜ciated“withŽ¡�‘'½V‘Ê´¹in›.Ethe–.Dappropriate“co�SŽdimension.‘¶W‘ÿVe“call“a˜motiv�¬re“ºge‘ÿffometric‘ßU¹if˜the“corre-Ž¡�‘'sp�SŽonding–¤´cohomology›¤³space��“HŽŽ�‘ s�ŸÌÌ»geomŽ‘%ôÔ¹is“spanned˜b�¬ry“the˜classes“of˜sub�¬rv‘ÿXäarietiesŽ¡�‘'of›!½V‘µ‘¹de ned‘ o•¬rv“er�Ÿüîï�‘:ꎟ�˜ÌQŽŽ‘<®¹,‘d¿and˜ºtr–ÿffansc“endental‘W´¹if‘ the˜corresp�SŽonding˜cohomologyŽ¡�‘'subspace–ÿhas“trivial“inš¬rtersection“with��“HŽŽ�‘ ëèŸÌÌ»geomŽ‘ Èl¹.‘ÏæF‘ÿVor“an˜y“suc˜h“½V‘œp¹,‘)•the“T‘ÿVate“con-Ž¡�‘'jecture–ð primarily“concerns“the‘ð geometric“motivš¬res;‘ò¼their“L-series“are“b�SŽeliev˜edŽ¡�‘'to›Béb�SŽe‘Bèm•¬rultiplicativ“e˜com“binations˜of–Bèthe˜zeta-functions˜of“algebraic˜n•¬rum“b�SŽerŽ¡�‘' elds.‘øThe–~ðBlošSŽc�¬rh-Kato‘~ïconjecture“describ˜es‘~ïb˜oth“sorts“of‘~ïmotiv�¬re,‘”{but“shouldŽ¡�‘'probably–¶Jb�SŽe›¶Ksplit“up“according˜as“the˜motiv�¬re“is“geometric˜or“transcenden�¬rtal.Ž¡�‘'The–ê¨transcendenš¬rtal“part“is“the“more“no˜v˜el.Ž¡�‘8ŸôIn–þ¢this“paragraph,‘-Ölet“½L¹(½s¹)“bšSŽe“an�¬ry“motivic“L-function“and“½d“¹the“asso˜ciatedŽ¡�‘'co�SŽdimension.‘/´It–Ï$is›Ï#kno�¬rwn“that“the“series˜for“½L¹(½s¹)“is“absolutely˜con•¬rv“ergen“t‘Ï$inŽ¡�‘'ó!",š cmsy10À<½s‘UR>����ŸûFu�‘ˆ…»1Ž‘ˆ…Ÿöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘ û¼½d‘û¢¹+‘û¡1;‘±ˆand–”÷it“is›”øconjectured“that“½L¹(½s¹)˜can“b�SŽe˜meromorphically“con�¬rtin-Ž¡�‘'ued–Âto“the›Áwhole“½s¹-plane“and“that˜there“is“a“functional˜equation“connectingŽ¡�‘'½L¹(½s¹)–and“½L¹(½d–Ël¹+›Ëm1“À“½s¹).‘ê«According–to“the“Blo�SŽc�¬rh-Kato“conjecture,‘.ôif“½s‘UR>����ŸûFu�‘ˆ…»1Ž‘ˆ…Ÿöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘ û¼¹(½d˜¹+‘Ël1)Ž¡�‘'is–ÓÙin›ÓØÌZ“¹then˜there“is˜a“fairly“w�¬rell˜de ned“transcenden•¬rtal˜½T‘uŸ¹suc“h˜that‘ÓÙ½L¹(½s¹)½=TŽ¡�‘'¹is–ê¨in“ÌQ¹;“moreo•¬rv“erŽ¡�’É@:½L¹(½s¹)–UR=“½T–¡ÆF“GŽŸ!ù�‘'¹where–?f½G›?g¹is“the“order“of˜a“certain‘ëØ‘ús’etale˜cohomology“group“and“½F‘á-¹(the“ºfudgeŽ¡�‘'factor‘J«¹)–Vis“a“prošSŽduct“of“T‘ÿVamaga•¬rw“a‘Vn“um“b˜ers.‘öéThere–Vis“a“ nite“set“of“in�¬rtegerŽŽŸ�’ç1ŽŽŒ‹* x€� ý¤€ =€� ýç€�‘'¹v‘ÿXäalues–w±of“½s¹,‘šócalled‘w²ºstr–ÿffate“gic‘´×values¹,‘šôfor–w±whicš¬rh“the“conjectured“form˜ula“for“½Tޤ€�‘'¹is–´Éless“complicated“than“it“is“in“general.‘—D(F‘ÿVor“a“geometric“motiv�¬re“½d“¹has“toŽ¡�‘'b�SŽe–çev�¬ren,‘&¶and“the›ç€only“strategic“v‘ÿXäalue˜is“½s‘°¹=����ŸûFu�‘6ã»1Ž‘6ãŸöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘ ª½d‘V͹+‘VÎ1.).‘/fA‘ç?mo�SŽdi ed“v�¬rersionŽ¡�‘'of–0êthe›0ëBlo�SŽc�¬rh-Kato“conjecture,‘‚{for“when˜½d“¹is“o�SŽdd˜and“½s‘€§¹=����ŸûFu�‘³Ú»1Ž‘³ÚŸöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘ '¹(½d–ˆÊ¹+“1),‘‚{tak�¬resŽ¡�‘'some–Czaccoun�¬rt›Cyof“the˜fact“that˜½L¹(½s¹)“ma�¬ry˜v‘ÿXäanish“there;‘{4this˜app�SŽears“to˜b�SŽe“moreŽ¡�‘'or–M˜less“compatible“with“the“Birc•¬rh/Swinnerton-Dy“er‘M—conjecture.‘a°But–M˜for“theŽ¡�‘'latter–õconjecture,‘AMwhen“½L¹(����ŸûFu�‘33»1Ž‘33Ÿöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘¦j¹(½d–úA¹+“1))–õis“non-zero›ö½F‘¸»¹is“the“pro�SŽduct˜of“T‘ÿVamaga•¬rw“aŽ¡�‘'n•¬rum“bšSŽers–ß/with“a‘ß.certain“non-lo˜cal“factor.‘߸It›ß.is“in“general“dicult˜to“obtain“an�¬ryŽ¡�‘'arithmetic–Ÿ information›Ÿ ab�SŽout“the˜order˜of“a“cohomology˜group.‘VThe“T‘ÿVate-Ž¡�‘'Safarevic–Ïïgroup›Ïîis“an˜exception,‘ÕGbut“this˜is“b�SŽecause“w�¬re˜also“ha•¬rv“e˜a‘Ïïlo“w-bro“wŽ¡�‘'description–2üof“it.‘ÛIt“wš¬rould“b•SŽe‘2ûgo“o“d–2üto“ha˜v˜e“similar‘2ûlo˜w-bro˜w“descriptions“ofŽ¡�‘'the–ê¨groups“whic�¬rh“ošSŽccur“in“the“Blo˜c�¬rh-Kato“conjecture.Ž¡�‘8ŸôThe–%’motivic“L-functions“assošSŽciated“with“h�¬ryp˜ersurfaces‘%“of“the“form“(1)“areŽ¡�‘'Hec•¬rk“e–CÙL-functions.‘EThe“ob‘§ject“of“this›CØpap�SŽer“is“to“compute˜and“in�¬rterpret“½L¹(½s¹)Ž¡�‘'at–°Istrategic›°Jv‘ÿXäalues“of˜½s“¹for˜transcendenš¬rtal“motiv˜es‘°Jof“suc˜h‘°Jh˜yp�SŽersurfaces;‘þtheŽ¡�‘'same–¦methošSŽds“can“b˜e›¦used“to“compute“½L¹(½s¹)“at“non-strategic“v‘ÿXäalues˜of“½s¹,‘³ÏbutŽ¡�‘'I‘hLam–hmnot›hlable“to˜inš¬rterpret“these.‘².I‘hLha˜v˜e›hlcomputed“½L¹(½s¹)˜only“for˜the“v‘ÿXäaluesŽ¡�‘'½n‘q¹=‘r4½;‘ÿþ¹5–R·and›R¸10,‘l»but“I‘R�ha•¬rv“e–R·no˜reason“to“doubt˜that“these“are˜t�¬rypical.‘qTheŽ¡�‘'n�¬rumerical– Óevidence“implies› Ôthat“½L¹(½s¹)–UR=“½T‘¡ÆR‘º¹where– Ó½T‘B™¹is˜a“transcendenš¬rtal“whic˜hŽ¡�‘'can–æÐbšSŽe‘æÏexactly“sp˜eci ed›æÏand“½R‘¹is“a˜rational“n•¬rum“b�SŽer˜whose–æÐdenominator˜is“aŽ¡�‘'p�SŽo•¬rw“er–žof›ž2;‘·›when“½n–UR¹=“4˜this–žcan˜probably“b�SŽe˜pro•¬rv“ed‘žb“y˜argumen“ts‘žlik“e˜thoseŽ¡�‘'in–¯R[2]›¯Sbut“considerably“more˜complicated.‘%When˜½n–UR¹=“5–¯Ror“10,‘»1the“rationalit�¬ryŽ¡�‘'of–w½R‘0Á¹can›vpresumably“again“b�SŽe“pro•¬rv“ed˜b“y–wmeans“of“the˜theory“of“complexŽ¡�‘'mš¬rultiplication–ÊPas“dev˜elop�SŽed“b˜y“Shim˜ura“and“his“pupils;‘:$but“an˜y“statemen˜tŽ¡�‘'abšSŽout–ÊÄthe“denominator‘ÊÅof“½R‘ä¹w�¬rould“dep˜end“on“considerable‘ÊÅadv‘ÿXäances“in“thatŽ¡�‘'theory‘ÿV.Ž¡�‘8ŸôThe–Íšcase“when›Í›½d“¹is“o�SŽdd“and“½s‘UR¹=����ŸûFu�‘ˆ…»1Ž‘ˆ…Ÿöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘ û¼¹(½d•dl¹+“1)–Íšis“of˜particular“in�¬rterest,‘�b�SŽecause“itŽ¡�‘'is–Tthen›Splausible“to“hop�SŽe“that˜the“½G“¹in˜the“Blo�SŽc�¬rh-Kato“conjecture“should˜b�SŽe“aŽ¡�‘'square.‘*?Indeed,‘Ç�in›¾Çall–¾Æthe“examples“whic•¬rh˜I‘¾»ha“v“e–¾Æcomputed“½R‘عis“the“pro�SŽductŽ¡�‘'of–Òa“square“and“a“pšSŽo•¬rw“er–Òof“2.‘‡](A‘Šsimilar“phenomenon,‘K\though“asso˜ciatedŽ¡�‘'with––a‘–quite“di erenš¬rt“v‘ÿXäariet˜y‘ÿV,‘§w˜as“already“rep�SŽorted›–in“[4].)‘¯In“the˜main“tableŽ¡�‘'conš¬rtained–¼in‘½this“pap�SŽer,‘kÂthere“are“t˜w˜o›½examples“where“½L¹(½s¹)˜has“a˜zero“ofŽ¡�‘'p�SŽositiv•¬re›Mev“en˜order.‘öÎThe˜whole˜b�SŽeha“viour˜is˜so˜similar‘Lto˜what˜happ�SŽens˜inŽ¡�‘'the–ðparticular“case“describ�SŽed“bš¬ry“the“Birc˜h/Swinnerton-Dy˜er“conjecture“thatŽ¡�‘'one–¹is“b�SŽound›¹to“w�¬ronder“whether“in˜this“more“general“situation˜there“is“anŽ¡�‘'Ab�SŽelian–вv‘ÿXäarietš¬ry“with‘гa“role“to“pla˜y‘ÿV.‘êÿMoreo˜v˜er“there“is‘гan“ob˜vious“Ab�SŽelianŽ¡�‘'v‘ÿXäariet�¬ry–ê¨in“the“wings.ŽŽŸ�’ç2ŽŽŒ‹- x€� ý¤€ =€� ýç€���‘'ÌQuestion‘€1ŽŽ‘l ºDo›ÿffes–35the“interme˜diate“Jac˜obian“play“a“r˜ole“in“the“the˜ory?Ž©J�‘'¹Again,‘ñKthere–¼Äis“one‘¼Ãobš¬rvious“reason“wh˜y“the“order“of‘¼Ãa“ nite“ab�SŽelian“groupޤ€�‘'migh�¬rt–•bšSŽe“comp˜elled‘”to“b˜e“a“square:‘޹this“is“if“it“admits‘”a“non-singular“sk�¬rew-Ž¡�‘'symmetric›æbilinear–æform.‘+(It“is˜w•¬rell-kno“wn–æthat˜this“happ�SŽens˜for“the˜T‘ÿVate-Ž¡�‘'Safarevic–ê¨group,“the“bilinear“form“b�SŽeing“the“Cassels“form.ަ���‘'ÌQuestion‘€2ŽŽ‘l ºWhen–5,½s‘Xõ¹=����ŸûFu�‘Œ)»1Ž‘Œ)Ÿöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘ ÿ`¹(½d‘¬¹+‘¬1)º,‘5©is“ther›ÿffe“a“natur˜al“skew-symmetric“biline˜arŽ¡�‘'form–35on“the“c–ÿffohomolo“gy›35gr“oup˜app“e“aring˜in˜the˜Blo“ch-Kato˜c“onje“ctur“e?ަ�‘8Ÿô¹I‘[gam–[Ædeeply›[Åindebted“to“John“T‘ÿVate˜for“a“great“deal˜of“helpful“advice,Ž¡�‘'without–ê¨whicš¬rh“this“pap�SŽer“could“not“ha˜v˜e“b�SŽeen“written.ŽŸº9�‘8Ÿô2.‘%¾ºPr‘ÿffeliminaries‘¯!¹F‘ÿVor›±Can�¬ry‘±D½n–UR>“¹2,‘¼¾let˜½�ŸÌ̾nŽ‘ý¢¹=“½e�Ÿû¥2»2¾�I{i=nŽ‘逹and˜write‘±D½k‘¼o¹=“ÌQ¹(½�ŸÌ̾nŽ‘¨P¹)˜withŽ¡�‘'ring–ý÷of“in�¬rtegers‘ýöó$�%n² eufm10Ïo¹.›rÍLet“½–v/¹=“½�‘èŸû¥2»2Ž‘ ¥ü¹if–ý÷2Àjj½n¹,‘Êand“½‘v/¹=‘v0½‘å÷¹otherwise.˜Let“½p‘ýö¹b�SŽe“a“primeŽ¡�‘'of–°@ÌZ›°?¹whic�¬rh“do�SŽes˜not“divide˜½n“¹or˜an�¬ry“of“the˜½a�ŸÌ̾iŽ‘dÚ¹,‘»îso“that˜½W‘R¹has˜go•SŽo“d‘°@reductionŽ¡��Ÿü÷x�‘*lË~ŽŸˆ�‘'½WŽŽ‘7Ô<¹at–¬½p¹.‘ÈéLet“Ïp–«¹b�SŽe“a›¬prime“factor“of˜½p“¹in“Ïo¹.‘ÈêW‘ÿVrite“½q‘E¹=–§ ½p�Ÿû¥2¾Ž‘Ú�¹=��“NormŽŽ‘ ²X(Ïp¹)˜and‘« xŽ¡�‘'an‘_qisomorphism›_pÏo½=Ïp–À“ÌF�ŸÌ̾qŽ‘”þ¹.‘—:Th�¬rus˜½q‘ͪ¹is˜the–_qleast“p•SŽositiv�¬re˜p“o•¬rw“er–_qof“½p˜¹whic�¬rh“isŽ¡�‘'congruen�¬rt–ê¨to“1“mo�SŽd“½n¹.Ž¡�‘8ŸôT‘ÿVo–±ùanš¬ry‘±únonzero“elemen˜t“½x“¹in›±úÌF�ŸÌ̾qŽ‘ F÷¹there“corresp�SŽonds“a˜unique“½n�Ÿû¥2»thŽ‘9¹ro�SŽotŽ¡�‘'of–›@unit�¬ry“½“¹whose››?reduction“mo�SŽd“Ïp“¹is“equal“to˜½x�Ÿû¥2»(¾q�I{ó¾KÈ cmsy8Á»1)¾=nŽ‘vF¹;‘sŒthe“m•¬rultiplicativ“eŽ¡�‘'cš¬rharacter–÷½“¹is“de ned“on‘÷ÌF�Ÿû¥2�ÁŽŸRA�¾qŽŽ‘ ·"¹b˜y“½¹(½x¹)–F=“½¹,‘:;with‘÷½¹(0)“=“0.‘^BThis‘÷c˜haracterŽ¡�‘'extends–¾±to›¾²a“c�¬rharacter“on“Ïo˜¹whicš¬rh“w˜e“also‘¾²denote“b˜y“½¹.‘ ´üSince“½‘¾²¹is“theŽŸÕS�‘'standard›�½n�Ÿû¥2»thŽ‘ �À¹p�SŽo•¬rw“er˜residue˜sym“b�SŽol,‘ ™w“e˜can˜write‘œit˜as˜½¹(½x;‘ÿþÏp¹)–„ç=��“Ÿïqóú±u cmex10ÃŽ�Ÿø¦d��‘ Z?½xŽŽŸÿ��‘ °4ÏpŽŽŽ�‘‘ŸïqÃŽŽ�‘ÜéŸ ÿÿ¾nŽ‘!…9¹;‘—it˜isŽŸUS�‘'its–ê¨dep�SŽendence“on“Ïp“¹rather“than“on“½x“¹whic�¬rh“will“mainly“concern“us.Ž¡�‘8ŸôCho�SŽose–©valso“a“non•¬rtrivial‘©wadditiv“e›©vc“haracter˜½ ‘¯¹on˜ÌF�ŸÌ̾qŽ‘”þ¹;‘¿2then˜the˜Gauss˜sumŽ¡�‘'½g�n9¹(½r�S޹)–ê¨for“½r‘>6¹a“non-zero“elemen�¬rt“of“ÌZ½=n“¹is“de ned“asŽ©Ê�’«½gšn9¹(½r�S޹)–UR=“À���‘ÌýŸô™–ÃXŽŽŸÇ�‘ÿþ¾xÁ2ó"2Ç@Écmbx8ÍF�Ÿý¸ä�óq¡% cmsy6ÂŽŸG�ó;Îcmmi6¿qŽŽŽŽ‘ïQ½�Ÿû ™¾rŽ‘’b¹(½x¹)½ ˜¹(½x¹)½:ŽŸ'àÐ�‘'¹An•¬ry›µYother‘µXnon“trivial˜additiv“e‘µXc“haracter˜½ ��n9Ÿû¥2Á0Ž‘ñ˹has–µXthe˜form“½ ��n9Ÿû¥2Á0Ž‘“¹1–ê¨w˜e“de ne“the“Jacobi“sum“to“b�SŽeޤlù�‘v5‘½J›r¹(Ìr½;‘ÿþÏp¹)–UR=“½J˜¹(½r�ŸÌÌ»0Ž›À½;�–ÿþ:“:“:Ž‘Êœ;–ÿþr�ŸÌ̾mŽ‘Ĺ;“Ïp¹)–UR=“½q��n9Ÿû ™Á»1Ž‘ ʵ½g•n9¹(½r�ŸÌÌ»0Ž˜¹)�–ÿþÀ““Ž‘ÿú½g“¹(½r�ŸÌ̾mŽ‘Ĺ)Ž©lø�‘'where–ê¨the“½r�ŸÌ̾iŽ‘O‚¹satisfyŽ¡�’�B½r�ŸÌÌ»0Ž‘j¬¹+�‘ª¨½:–ÿþ:“:Ž‘ð¹+‘ª¨½r�ŸÌ̾mŽ‘ ZÀ–UR¹0�‘ ÿômo�SŽdŽ‘&…6½n;‘ ¿ön“À6“j½r�ŸÌ̾iŽ‘dÚ½:Ž¡�‘'¹In‘S=particular‘S<½J–r¹(Ìr½;›ÿþÏp¹)½J“¹(Ìr½;�Ÿþá�‘µ¹ŽŸí�˜ÏpŽŽ‘g¹)‘U=‘T½q��n9Ÿû¥2¾mÁ»1Ž‘Oy¹.‘rž(In–S=these“de nitions‘SéŸïqÃŽŽ‘Hõ?½A¹(½m–ª¨À“½¹)“+“1ŽŸ%{7�‘'where›Ÿ¸the‘Ÿ·brac•¬rk“et˜is˜a˜binomial›Ÿ·co�SŽecien“t.‘XBy˜induction–Ÿ¸on“½m¹,‘Ìü½A¹(½m¹)˜is“aŽ¡�‘'p�SŽolynomial–V>in›V=½n“¹of˜degree“at˜most“½m¹.‘gIt“is˜therefore“enough˜to“ nd˜a“form�¬rulaŽ¡�‘'for–꨽A¹(½m¹)“under“the“additional“h�¬ryp�SŽothesis“that“½n“¹is“prime.Ž¡�‘8ŸôF‘ÿVor–ê¨anš¬ry“½c“¹in“ÌZ“¹and“ xed“prime“½n“¹let“½N‘@ä¹(½c¹)“b�SŽe“the“n˜um˜b�SŽer“of“sets“withŽŸlù�’‚ì�½r�ŸÌÌ»0Ž‘j¬¹+�‘ª¨½:–ÿþ:“:Ž‘ð¹+‘ª¨½r�ŸÌ̾mŽ‘ ZÀ–UR½c�‘ ÿô¹mo�SŽdŽ‘&…6½n;‘ ¿ö¹0“½<“r�ŸÌ̾iŽ‘º,½<“n:ަ�‘'¹If–/ã½w‘‚޹is“prime“to›/ä½n“¹there“is˜a“one-one˜correspšSŽondence“b˜et•¬rw“een–/ãthe‘/äsets“coun�¬rtedŽ¡�‘'in–8N½N‘@ä¹(½c¹)›8Oand“those˜counš¬rted“in“½N‘@ä¹(½cw�Rª¹),‘K¹obtained“b˜y“m˜ultiplying‘8Oeac˜h“½r�ŸÌ̾iŽ‘�)¹b˜y“½wŽ¡�‘'¹and–ê¨reducing“mo�SŽd“½n¹.‘8àHence“½N›@ä¹(1)–UR=�“½:–ÿþ:“:Ž‘uD¹=“½N˜¹(½n–ª¨À“¹1)–ê¨and“thereforeޤlù�’‘kJ½N›@ä¹(0)–ª¨+“(½n“À“¹1)½N˜¹(1)–UR=“(½n–ª¨À“¹1)�Ÿû ™¾m»+1Ž‘á@½:Ž¡�‘'¹Again,–ê¨writing“½‘=S¹=‘UR½�ŸÌ̾nŽ‘¨P¹,ŽŸÛê�‘M(&(À¹1)�Ÿû ™¾m»+1Ž–6’¹=›UR(½‘’©¹+�‘ª¨½:–ÿþ:“:Ž‘ð¹+‘ª¨½�‘èŸû ™¾nÁ»1Ž‘l͹)�Ÿû ™¾m»+1Ž“¹=���˜Ÿô™–ÃXŽŽŽ‘ª¨½�‘èŸû ™¾cŽ‘z½N–@ä¹(½c¹)˜=˜½N“¹(0)–ª¨À“½N‘@ä¹(1)½:ŽŸ†˜�‘'¹Since›꨽N‘@ä¹(0)–UR=“½A¹(½m¹),˜the˜Lemma˜follo•¬rws˜from˜these˜t“w“o˜equations.‘([4ó—³îÍ msam10ÆŽŽŸ�’ç¹4ŽŽŒ‹.7 x€� ý¤€ =€� ýç€�‘8Ÿô½J‘r¹(Ìr½;‘ÿþÏp¹)–Û¤is“indep�SŽendenš¬rt“of“the“c˜hoice“of“½ šn9¹,‘Þ¥and“Gal(½k•g¹(��‘URŸúl‹¿pŽ���‘……ŸöÇÀpŽ�‘ …‡ŸöljzàßüŸ í9�¹1ŽŽŽŽŽ‘eƒ)½=k“¹)–Û¤acts“on“½g˜¹(½r�S޹)ޤ€�‘'through–„ its“action“on“½ �n9¹.‘¬Hence“bš¬ry“(2)“it“acts“trivially“on“½J‘r¹(Ìr½;‘ÿþÏp¹),‘˜’whic˜h“m˜ustŽ¡�‘'therefore–ê¨bšSŽe“in“½k�g¹;“similarly“(½g�n9¹(½r˜¹))�Ÿû¥2¾nŽ‘ ’ø¹m�¬rust“b˜e“in“½k�g¹.Ž¡�‘8ŸôEv•¬rerything›t–in“v“olving–t—the˜½r�ŸÌ̾iŽ‘Ùp¹only˜dep�SŽends“on˜them˜mo�SŽd“½n¹;‘›ñbut˜in“order˜toŽ¡�‘'state›ñ4Stic•¬rk“elb�SŽerger's˜theorem˜w“e‘ñ3de ne˜½•S޹(½r“¹)˜for˜an•¬ry˜½r‘D¹in‘ñ3ÌQ˜¹whic“h˜is˜in“tegralŽ¡�‘'at–꨽n“¹to“b�SŽe“that“inš¬rteger“whic˜h“satis esŽ©uÀ�’“_È0–URÀ“½•S޹(½r“¹)–UR½<“n;‘ ¿ö•S޹(½r“¹)–URÀ“½r�‘ S‚¹mo�SŽdŽ‘&ØÄ½n:ŽŸu¿�‘'¹W‘ÿVeil's–§×vš¬rersion‘§Øof“Stic˜k˜elb�SŽerger's›§Øtheorem“[7]˜sho�¬rws“that˜as“an˜ideal“(½g�n9¹(½r�S޹))�Ÿû¥2¾nŽ‘ P(¹isŽ¡�‘'principal–ê¨with“prime“ideal“decomp�SŽositionŽŸä²�’®HŸ(½g•n9¹(½r�S޹))�Ÿû ™¾nŽ‘ý¢¹=���‘URŸô™–ÃYŽŽŽ‘ªª¹(½�Ÿû ™�“Á»1ŽŸëÚ�Á¾cŽŽ‘ ʵÏp¹)�Ÿû ™¾•L-function“of“½W‘l¹as“the“pro�SŽduct˜of“simpler“L-functions.Ž¡�‘'Apart–ê¨from“½�ŸÌ̾kŽ‘#’¹(½s–ª¨À“¹(½m“À“¹1)½=¹2)–ê¨when“½m“¹is“o�SŽdd,“eac�¬rh“of“them“has“the“formŽŸà»�‘y¨½M‘@ä¹(½s¹)–UR=����“Ÿô™–ÃYŽŽŸ ÌÒ�‘ëûó%\—‚%eufm8ÐpŽŽŽ�‘ªªŸö‘ Á0Ž‘xã¹(1–ª¨À“½J‘r¹(Ìr½;‘ÿþÏp¹)��‘eUŽ�½ŽŽ‘\n¹(Ìa�Ÿû ™ÍrŽ‘ŒÏ¹)(��NormŽŽ‘ õõÏp¹)�Ÿû ™Á¾sŽ‘ ´¹)�Ÿû ™Á»1Ž‘ \|½:ŽŸ&„M�‘'¹(W‘ÿVe–õ�use›õŽthe“letter˜½M‘6s¹instead˜of“½L˜¹to“indicate˜that“w•¬re˜ha“v“e–õ�left˜out“p�SŽossibleŽ¡�‘'factors–Ç corresp�SŽonding“to“the›Ç bad“primes.)‘ ÎF‘ÿVor“suc�¬rh˜an“L-function“to“b�SŽeŽ¡�‘'ºge‘ÿffometric‘äy¹it–3his›3gnecessary“that“½m“¹is“o�SŽdd˜and“½ ��¹(½cÌr¹)‘UR=����ŸûFu�‘ˆ…»1Ž‘ˆ…Ÿöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘ û¼¹(½m–4\À“¹1)˜for–3hall“½c¹,‘Xso“thatŽ¡�‘'eac•¬rh›z>c“haracteristic˜ro•SŽot˜at‘z=Ïp˜¹is˜½q��n9Ÿû¥2»(¾mÁ»1)¾=»2Ž‘&æ7¹times˜a˜ro“ot‘z=of˜unit�¬ry;‘ conjecturallyŽ¡�‘'this–�is“also“sucien�¬rt.‘ üOne“case“when“this“condition“holds“is“when,‘æ afterŽ¡�‘'p�SŽerm�¬rutation–(of“the“½r�ŸÌ̾iŽ‘¹if“necessary‘ÿV,‘&½r�ŸÌÌ»0Ž–‹¹+‘˽r�ŸÌÌ»1Ž›f/¹=‘¦,½r�ŸÌÌ»2Ž“¹+‘Êÿ½r�ŸÌÌ»3Ž˜¹=�‘¦,½:–ÿþ:“:Ž‘ø¹=‘¦+½n¹.‘Ç`F‘ÿVor‘(surfacesŽ¡�‘'with›�Ù½n–†T<“¹1000˜this–�Úis˜the˜only“case,‘Ê¥and“I‘�«b�SŽeliev�¬re˜this“to˜b�SŽe˜so“in˜general.Ž¡�‘'This–Ë4is›Ë3closely“link�¬red˜to“the˜assertion“(whic�¬rh˜has“b�SŽeen˜pro•¬rv“ed–Ë4in˜some“cases;Ž¡�‘'see–]–for“example“Shio�SŽda“[4])“that“in“middle“dimension“the“geometric“part“ofŽ¡�‘'the–ê¨cohomology“is“generated“bš¬ry“the“ob˜vious“linear“subspaces.ŽŸº9�‘8Ÿô3.‘%¡ºEvaluation–þ$of“c›ÿffertain“Jac˜obi“sums‘®É¹F‘ÿVor–°ìan�¬ry“ideal“Ïb“¹in“Ïo‘°í¹prime“to“½n“¹andŽ¡�‘'the–Ó^½a�ŸÌ̾iŽ‘89¹wš¬re“can‘Ó_no˜w“de ne‘Ó_½J‘r¹(Ìr½;‘ÿþÏb¹)“b˜y‘Ó_m˜ultiplicativit˜y–ÿV.‘1W“eil–Ó^sho˜ws‘Ó_that“½J‘r¹(Ìr½;‘ÿþÏb¹)Ž¡�‘'considered–¬Ias“a›¬Jfunction“of“Ïb“¹is“a˜Grossenc�¬rharacter“and“½n�Ÿû¥2»2Ž‘lM¹is˜a“de ning“idealŽ¡�‘'for–¾/it.‘* F‘ÿVor“ xed“Ìr“¹and“½n“¹a“formš¬rula“for“½J‘r¹(Ìr½;‘ÿþÏb¹)“can“therefore“b�SŽe“obtained“b˜y“aŽ¡�‘' nite–Gàcalculation;‘~#and‘Gásucš¬rh“form˜ulae›Gáfor“small“v‘ÿXäalues˜of“½n˜¹are“giv�¬ren˜in“BerndtŽ¡�‘'et›Æal–Å[1].‘¥9T‘ÿVate“has˜obtained˜a“general˜form�¬rula“for˜½J‘r¹(Ìr½;‘ÿþÏb¹),‘WÍbut“for˜presen�¬rtŽ¡�‘'purp�SŽoses–ê¨the“follo�¬rwing“simpler“results“will“suce.ŽŸ€���‘'ÌLemma‘€2ŽŽ‘cuQºSupp›ÿffose–ñbthat“½n–µ}¹=“½P‘“(ºor‘ñb½n“¹=“2½P‘“'ºwher˜e–ñb½P‘“(ºis“an“o˜dd“prime,‘ íandŽ¡�‘'that–35½q‘˹=›UR½p�Ÿû¥2¾Ž‘ fǺwith“½‘ôüºeven.‘fiThen“½J‘r¹(Ìr½;‘ÿþÏp¹)˜=˜(À¹1)�Ÿû¥2¾m»+1Ž‘á@½q��n9Ÿû¥2»(¾mÁ»1)¾=»2Ž‘&Ÿ.ºand“½¹(Ìa�Ÿû¥2ÍrŽ‘ŒÏ¹)˜=˜1º.ŽŽŸ�’ç¹6ŽŽŒ‹I¦ x€� ý¤€ =€� ýç€�‘'ºPr–ÿffo“of‘E¹Since›¼y½‘~A¹is–¼zthe“smallest˜p�SŽositiv�¬re“v‘ÿXäalue“of˜½s“¹for“whic�¬rh“½p�Ÿû¥2¾sŽ‘ (±À‘ºu¹1�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:½n¹,ޤ€�‘'w•¬re›ä9m“ust˜ha“v“e‘ä8½q��n9Ÿû¥2»1¾=»2Ž‘¬b¹=‘þ½p�Ÿû¥2¾‘…í=»2Ž‘±¶À‘þ¹1�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:½n¹.‘%’W‘ÿVe˜ha“v“e˜½ šn9¹(½x¹)–þ=“½���˜Ÿû¥2»T‘ÿJªrŽŽ‘ ,zŸû¥2(¾x»)Ž‘ö¹for‘ä9someŽ¡�‘'nonš¬rtrivial–N½p�Ÿû¥2»thŽ‘ �r¹ro�SŽot“of‘Munit˜y“½�n9¹,‘5“where“the“trace“is“for“ÌF�ŸÌ̾qŽ‘”þ½=ÌF�ŸÌ̾pŽ‘Ϫ¹and“ÌF�ŸÌ̾pŽ‘Ï«¹is“iden˜ti edŽ¡�‘'with–ê¨ÌZ½=¹(½p¹).‘8àSince“Gal(ÌF�ŸÌ̾qŽ‘”þ½=ÌF�ŸÌ̾pŽ›Ç]¹)“is“generated“b�¬ry“½x–URÀ7!“½x�Ÿû¥2¾pŽ˜¹,–ê¨for“an�¬ry“½rŽŸô£�‘_ìõgšn9¹(½r�S޹)–UR=“À���‘ÿþŸô™–ÃXŽŽŽ‘UT½¹(½x�Ÿû ™¾prŽ‘Ù¿¹)½ ˜¹(½x�Ÿû ™¾pŽ‘Ç]¹)“=“À���‘ÿþŸô™–ÃXŽŽŽ‘UT½¹(½x�Ÿû ™¾prŽ‘Ù¿¹)½ ˜¹(½x¹)“=“½g˜¹(½r�SŽp¹)½:ŽŸôm�‘'¹In–æparticular“½gšn9¹(½r�S޹)–´þ=“½g˜¹(½r�SŽp�Ÿû¥2¾‘…í=»2Ž‘ ³š¹)“=“½g˜¹(À½r�S޹),‘dëand–æwš¬re“kno˜w“that“½g•n9¹(½ršS޹)½g“¹(À½r˜¹)‘´þ=Ž¡�‘'½�Ÿû¥2¾rŽ‘’b¹(À¹1)½q�n9¹.‘8àIf›꨽n–UR¹=“½P‘Œn¹is˜an˜o�SŽdd˜prime,˜thenŽŸ™ž�’Š�›½gšn9¹(½r�S޹)–URÀ“���‘ÿþŸô™–ÃXŽŽŸ'Ø�‘×ù¾xÁ6»=0ŽŽ‘UT½ ˜¹(½x¹)“À“¹1�‘ ÿômo�SŽdŽ‘&…6(1–ª¨À“½¹)½;ޤ(D�‘'¹so–�Zwš¬re“m˜ust“ha˜v˜e“½�Ÿû¥2¾rŽ‘’b¹(À¹1)–UR=“1‘�Yand‘�Z½gšn9¹(½r�S޹)“=“À½q�˜Ÿû¥2»1¾=»2Ž‘ ®E¹.‘ÆIf‘�Z½n“¹=“2½P‘2 ¹then,‘¢jmo�SŽd‘�Y(1‘ò5À‘ò4½¹),ŽŸ% �‘f1½gšn9¹(½r�S޹)–URÀ“���‘ÿþŸô™–ÃXŽŽŸ'Ø�‘×ù¾xÁ6»=0ŽŽ‘UV¹(½¹(½x¹))�Ÿû ™¾P‘.:rŽ‘ $.½ ˜¹(½x¹)“À��“ŸëzÕÃ(Ž�Ÿ÷Ç­��‘ ½g˜¹(½P‘¡Ær�S޹)Ž���‘:°nif–꨽r‘>6¹is“o�SŽddŽŽ‘nå½;ŽŽŸfa��‘ ¹1Ž���‘:°nif–꨽r‘>6¹is“ev�¬renŽŽ‘q¨ÿ½:ŽŽŽŽŽ¡�‘'¹If–Q¾½r‘¥L¹is“o�SŽdd“and“½ šn9¹(½x¹)–UR=“½���˜Ÿû¥2»T‘ÿJªrŽŽ‘ ,zŸû¥2(¾x»)Ž‘c–¹then–Q¾À½g˜¹(½P‘¡Ær�S޹)“is“a“quadratic“Gauss“sum,‘pSwhic�¬rh“isޤ€�‘'equal–éöto›éõÀ¹(À½�s2¹)�Ÿû¥2¾Ž‘3’½p�Ÿû¥2¾‘…í=»2Ž‘��¹where“½‘È„¹=‘UR1˜if“½p–URÀ“¹1�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:4–éöand“½‘È„¹=‘UR½i˜¹if“½p–URÀ“¹3�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:4.Ž¡�‘'Thš¬rus–ð¦½g�n9¹(½r�S޹)‘ð¥is“congruen˜t“to“À¹1›ð¥mo�SŽd“(1‘®¼À‘®½½¹)˜if“½r‘D4¹is“o�SŽdd˜and“½p‘_…À‘_„¹3�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:4“andŽ¡�‘'2Àjj½‘Áǹ,‘and–8to“1–9otherwise.‘¯‘So“½gšn9¹(½r�S޹)–8is“½q�˜Ÿû¥2»1¾=»2Ž‘À~¹in“the›9former“case˜and“À½q��n9Ÿû¥2»1¾=»2Ž‘À~¹in“theŽ¡�‘'latter.‘ï Since– *the“former‘ +case“happ�SŽens“an“evš¬ren“n˜um˜bšSŽer“of“times“in“the“pro˜ductŽ¡�‘'for–꨽J›r¹,“this“pro•¬rv“es–ê¨the“form�¬rula“for“½J˜¹.Ž¡�‘8ŸôSince–޽p‘¿À‘¿¹1“is›�prime“to˜½P‘¡Æ¹,‘evš¬rery“elemen˜t›�of“ÌF�ŸÌ̾pŽ‘Ïë¹is˜a“½P�‘¡ÆŸû¥2»thŽ‘1w¹p�SŽo•¬rw“er;‘€and‘ŽsinceŽ¡�‘'½‘¬o¹is–ê¨evš¬ren,“ev˜ery“elemen˜t“of“ÌF�ŸÌ̾pŽ‘²¹is“a“square“in“ÌF�ŸÌ̾qŽ‘”þ¹.‘8àSo“½¹(Ìa�Ÿû¥2ÍrŽ‘ŒÏ¹)–UR=“1.‘<¬�Æޤ€���‘'ÌLemma‘€3ŽŽ‘cuQºIf›35½n–UR¹=“½P‘Ôûºis˜an˜o‘ÿffdd˜prime˜then˜½J‘r¹(Ìr¹)“À“¹1�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:(1–ª¨À“½¹)�Ÿû¥2»2Ž‘Àº.Ž¡�‘'Pr–ÿffo“of‘üó¹F‘ÿVor›tian�¬ry–tj½x“¹in˜½F�Ÿû¥2�‘¡ÆÁŽŸRA�¾qŽŽ‘ Ö4¹de ne“½h¹(½x¹)“in˜ÌZ½=¹(½n¹)“b�¬ry“½¹(½x¹)–UR=“½�‘èŸû¥2¾h»(¾x»)Ž‘³Q¹.‘vF‘ÿVor˜this‘tjLemmaŽ©€�‘'½‘=S¹=‘UR½–꨹and“soޤ€�‘|-X(½¹(½x¹))�Ÿû ™¾rŽ‘ç´À‘UR¹1–ª¨À“½ršSŽh¹(½x¹)(1“À“½¹)�‘ ÿômo˜dŽ‘&…6(1“À“½¹)�Ÿû ™»2Ž‘À¹;Ž¡�‘'thereforeަ�‘m³H½g�n9¹(½ršS޹)–URÀ“¹1–ª¨+“½r˜¹(1“À“½¹)���‘ÿþŸô™–ÃXŽŽŽ‘UT½h¹(½x¹)½ �n9¹(½x¹)�‘ ÿômo˜dŽ‘&…6(1“À“½¹)�Ÿû ™»2Ž‘À½:ŽŸœ@�‘'¹Th�¬rus‘꨽J‘r¹(Ìr¹)–URÀ“¹1�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:(1–ª¨À“½¹)�Ÿû¥2»2Ž‘À¹.’ä}þÆŽŽŸ�’ç¹7ŽŽŒ‹Y, x€� ý¤€ =€� ýç€���‘'ÌLemma‘€4ŽŽ‘cuQºSupp›ÿffose–35that“½r�ŸÌÌ»0Ž‘À½;‘ÿþr�ŸÌÌ»1Ž‘ó9ºar˜e“inte˜gers“not“divisible“by“½nº.‘fiThenŽŸ$U_�‘jÀ½g•n9¹(½r�ŸÌÌ»0Ž›À¹)½g“¹(½r�ŸÌÌ»1Ž˜¹)–UR=��“ŸëzÕÃ(Ž�Ÿ÷Ç­��‘ ¹(½¹(À¹1))�Ÿû¥2¾r�Ÿq¼0ŽŽ‘€—½qŽ���‘y›PºifŽŽ’…½½nÀj¹(½r�ŸÌÌ»0Ž‘j¬¹+‘ª¨½r�ŸÌÌ»1Ž˜¹)½;ŽŽŸfa��‘ g�n9¹(½r�ŸÌÌ»0Ž‘j¬¹+‘ª¨½r�ŸÌÌ»1Ž˜¹)½J�‘rŸû¥2ÁŽ‘Üv¹(½r�ŸÌÌ»0Ž˜½;‘ÿþr�ŸÌÌ»1Ž˜¹)Ž���‘y›PºotherwiseŽŽ’©u½;ŽŽŽŽŽŸ%�‘'ºwher‘ÿffe‘35½J�‘rŸû¥2ÁŽ‘Üv¹(½r�ŸÌÌ»0Ž–À½;›ÿþr�ŸÌÌ»1Ž“¹)–UR=“À�˜ŸöÿûÃPŽ‘ª©½¹(½x�Ÿû¥2¾r�Ÿq¼0ŽŽ›€—¹(1–ª¨À“½x¹)�Ÿû¥2¾r�Ÿq¼1ŽŽ˜¹)º.Ž©€�‘'Pr–ÿffo“of‘ÈÓ¹When–@J½nÀj¹(½r�ŸÌÌ»0Ž‘°¹+‘N¬½r�ŸÌÌ»1Ž‘À¹)“the“result“has“already“b�SŽeen‘@Ipro•¬rv“ed;‘yso›@Jw“e˜can˜assumeޤ€�‘'that‘꨽n–URÀ6“j¹(½r�ŸÌÌ»0Ž‘j¬¹+‘ª¨½r�ŸÌÌ»1Ž‘À¹).‘8àNo�¬rwŽŸD°n��Ÿþ€�����Ÿ-0m�Ÿ¬8Ã���‘(q½g•n9¹(½r�ŸÌÌ»0Ž›À¹)½g“¹(½r�ŸÌÌ»1Ž˜¹)–UR=���“Ÿô™–ÃXŽŽŽ���‘ª¨Ÿô™–XŽŽŽ‘(¹(½¹(½xyšn9¹))�Ÿû ™¾r�Ÿq¼0ŽŽ–€—¹(½¹(½x¹))�Ÿû ™¾r�Ÿq¼1ŽŽ“½ 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™ÁŽ‘Üv¹(À½r�ŸÌÌ»0Ž‘j¬À“½r�ŸÌÌ»1Ž–À½;‘ÿþr�ŸÌÌ»1Ž“¹)ŽŽŽŽŽ’‹ 3½:ŽŽŽŽŽŽŸ+0c�‘'¹Using–ê¨the“previous“result,“this“completes“the“pro�SŽof“of“the“Lemma.‘)¸·ÆŽŸ€���‘'ÌCorollaryŽŽ‘h׺If›Aœ½n–oþ¹=“2½P‘ãcºthen˜½J‘r¹(Ìr¹)“À“¹(½¹(À¹1))�Ÿû¥2¾s=»2Ž‘ îD¹(½¹(2))�Ÿû¥2»2¾RŽ�‘3�¹mo�SŽdŽ‘-¸Ñ(1‘µSÀ‘µT½¹)�Ÿû¥2»2Ž‘  ºwher‘ÿffeަ�‘'½s–˺is›Ìthe“numb‘ÿffer˜of“o‘ÿffdd“½r�ŸÌ̾jŽ‘ gÖºand“½R‘ºis˜the“sum˜of“the“even˜½r�ŸÌ̾jŽ‘f º.‘Ò,If“½k‘héºhas“classަ�‘'numb›ÿffer–35¹1“ºwe“c˜an“cho˜ose“½–URÀ“¹1�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:(1–ª¨À“½¹)�Ÿû¥2»2Ž‘ó9ºand‘35thenŽ¡�’¡µ?½J‘r¹(Ìr¹)–UR=“½¹(½¹(À¹1))�Ÿû ™¾s=»2Ž‘ îD¹(½¹(2))�Ÿû ™»2¾RŽ‘ 3—½:Ž¡�‘'ºPr–ÿffo“of‘Öø¹When›Nn½m–UR¹=“1–Nothis˜is“the˜ rst“case˜in“Lemma˜4.‘ÍThe“general˜result“thenަ�‘'follo•¬rws›ê¨b“y˜induction˜on˜½m¹,˜using˜Lemmas˜4˜and˜5.‘x¬kÆŽŽŸ�’ç¹9ŽŽŒ‹ v x€� ý¤€ =€� ýç€���‘'ÌLemma‘€6ŽŽ‘cuQºSupp›ÿffose–'„that“½n–»¹=“4–'„ºand“½p–»¹=“½q‘‡ôÀ“¹1�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:4º.‘CVL˜et›'„Ïp“¹=“(½�n9¹)˜ºwithޤ€�‘'½‘ËÀ›UR¹1�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:2(1–ª¨+“½i¹)–35ºb‘ÿffe“a“prime“factor“of“½p“ºin“½k‘¼o¹=˜ÌQ¹(½i¹)º.‘fiThenŽŸ#ýk��Ÿþ€�����Ÿ ÿÿ�Ÿê&d���‘lp½J�‘rŸû ™ÁŽ›Üv¹(1½;‘ÿþ¹1)–UR=“½¹(À¹1)½�n9;‘J�‘rŸû ™ÁŽ˜¹(3½;‘ÿþ¹3)“=“½¹(À¹1)��‘œEŽ�½ŽŽ‘…;ŽŽŽŸ€���‘lpJ�‘rŸû ™ÁŽ›Üv¹(1½;‘ÿþ¹2)–UR=“½J�‘rŸû ™ÁŽ˜¹(2½;‘ÿþ¹1)“=“½�n9;‘J�‘rŸû ™ÁŽ˜¹(2½;‘ÿþ¹3)“=“½J�‘rŸû ™ÁŽ˜¹(3½;‘ÿþ¹2)“=��‘ñ—Ž�“½ŽŽ‘ m×:ŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽ© R¾�‘'ºPr–ÿffo“of‘s1¹W‘ÿVe‘ê¨ha•¬rv“eŽŸl]�‘s0¼½J�‘rŸû ™ÁŽ‘Üv¹(1½;›ÿþ¹2)–UR=“À���˜Ÿô™–ÃXŽŽŽ‘UV¹(1–ª¨À“½¹(½x¹))(1“À“½�Ÿû ™»2Ž‘À¹(1“À“½x¹))“+“½p:ŽŸl^�‘'¹In–ýkthis›ýlsum“the“terms“with˜½x‘uA¹=‘uB0½;‘ÿþ¹1“v‘ÿXäanish“and˜in“ev�¬rery“other“term˜the“ rstŽ¡�‘'factor–Ijis“divisible‘Iibš¬ry“1‘aP+‘aO½i“¹and“the“second“b˜y‘Ii2.‘!So“½J�‘rŸû¥2ÁŽ‘Üv¹(1½;‘ÿþ¹2)–URÀ“¹1�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:2(1‘aO+‘aP½i¹).Ž¡�‘'Since›ê¨(½J�‘rŸû¥2ÁŽ‘Üv¹(1½;‘ÿþ¹2))–UR=“Ïp˜¹as˜ideals,˜½J�‘rŸû¥2ÁŽ‘Üv¹(1½;‘ÿþ¹2)“=“½�n9¹.Ž¡�‘8ŸôF‘ÿVor–KÔ xed›KÓ½y‘º ¹in“ÌF�ŸÌ̾pŽ‘1¹the˜n•¬rum“b�SŽer–KÔof“solutions“of˜½x¹(1–f>À“½x¹)–UR=“½y‘º ¹is˜1–f>+“½�Ÿû¥2»2Ž‘À¹(1‘f=À“¹4½y�n9¹);Ž¡�‘'soޤ&0¨��Ÿþ€�����Ÿ ™ž�ŸèÌÃ���‘U+½J�‘rŸû ™ÁŽ‘Üv¹(1½;‘ÿþ¹1)ŽŽ��‘~î�=›URÀ���‘ÿþŸô™–ÃXŽŽŽ‘UT½¹(½x¹(1–ª¨À“½x¹))˜=˜À���‘ÿþŸô™–ÃXŽŽŽ‘UVÀf¹1“+“½�Ÿû ™»2Ž‘À¹(1“À“¹4½y•n9¹)Àg½¹(½y“¹)ŽŽŽŸ3=���‘~î�=‘URÀ���‘ÿþŸô™–ÃXŽŽŽ‘UT½¹(4½yšn9¹)½�Ÿû ™»2Ž‘À¹(1–ª¨À“¹4½y˜¹)½=¹(4)–UR=“½J�‘rŸû ™ÁŽ‘Üv¹(1½;‘ÿþ¹2)½=¹(4)ŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¡�‘'and›꨽¹(À¹4)–UR=“1.‘8àThe˜remaining˜claims˜follo•¬rw˜b“y˜complex˜conjugacy‘ÿV.‘�öÆŽŸ���‘'ÌCorollaryŽŽ‘h׺Supp›ÿffose–35that“Ìr“ºc˜ontains“½n�ŸÌ̾jŽ‘™?ºc˜opies“of“½j‘àºfor“½j‘%¹=‘UR1½;–ÿþ¹2½;“¹3º,–35so“thatޤýk�‘y<§½n�ŸÌÌ»1Ž–j¬¹+›ª¨½n�ŸÌÌ»2Ž“¹+˜½n�ŸÌÌ»3Ž‘V¹=‘UR½m˜¹+˜1½;‘¹4Àj¹(½n�ŸÌÌ»1Ž“¹+˜2½n�ŸÌÌ»2Ž“¹+˜3½n�ŸÌÌ»3Ž‘À¹)½:Ž¡�‘'ºThenŽ¡�‘Y6ݽJ‘r¹(Ìr¹)–UR=“(½¹(À¹1))�Ÿû ™»(¾n�Ÿq¼1Ž–*§»+¾n�Ÿq¼3Ž“»)¾=»2Ž‘(Þæ½��n9Ÿû ™»(3¾n�Ÿq¼1Ž–*§»+2¾n�Ÿq¼2Ž“»+¾n�Ÿq¼3Ž“»)¾=»4Á»1Ž��‘M5W¹Ž�‘L™½��n9Ÿû ™»(¾n�Ÿq¼1Ž–*§»+2¾n�Ÿq¼2Ž“»+3¾n�Ÿq¼3Ž“»)¾=»4Á»1ŽŽŽ’ŸÜp½:Ž¡�‘'ºPr–ÿffo“of‘·¹F‘ÿVor‘:/½J›r¹(1½;‘ÿþ¹3)–:.and“½J˜¹(2½;‘ÿþ¹2)›:/this“is˜con�¬rtained“in“Lemma˜4.‘ 'sThe“generalޤ€�‘'result–ê¨noš¬rw“follo˜ws“b˜y“induction“on“½m¹,“using“Lemmas“4“and“6.‘?}£ÆŽŸº9�‘8Ÿô¹4.‘8àºThe–35functional“e‘ÿffquation‘ÐX¹W‘ÿVe–ê¨no�¬rw“study“the“L-seriesަ�‘'5˽M‘@ä¹(½s¹)–UR=���“Ÿô™–ÃYŽŽŸ ÌÒ�‘ëûÐpŽŽ‘ªª¹(1–ª¨À“½J–r¹(Ìr½;›ÿþÏp¹)��‘eUŽ�½ŽŽ‘\n¹(Ìa�Ÿû ™ÍrŽ‘ŒÏ¹)(��NormŽŽ‘ õõÏp¹)�Ÿû ™Á¾sŽ‘ ´¹)�Ÿû ™Á»1Ž‘±Î¹=���‘URŸô™–ÃXŽŽŸ%Ÿ�‘ Þ|ÐbŽŽ‘ª¨½J“¹(Ìr½;˜Ïb¹)��˜ŸïqÃŽ�Ÿø¦d��‘ ÕVÌa�Ÿû¥2ÍrŽŽŽŸÿ���ŸüÞ«�‘ sÀ¹ŽŸ!U�‘ OŠÏbŽŽŽŽŽ�‘ò%ŸïqÃŽŽ�‘Ç}Ÿ ÿÿ¾nŽ‘&o˹(��NormŽŽ‘ õõÏb¹)�Ÿû ™Á¾sŽ‘ ´½:ŽŸ&ã�‘'¹Both–ƒÜthe›ƒÝpro�SŽduct“and“the“series˜are“absolutely“con•¬rv“ergen“t˜in‘ƒÜÀ<½s‘UR>����ŸûFu�‘ˆ…»1Ž‘ˆ…Ÿöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘ û¼¹(½m–ر¹+“1).Ž¡�‘'When›Ãó½m–UR¹=“4˜or˜6,‘˱w•¬re˜can˜analytically˜con“tin“ue‘Ãò½M‘@ä¹(½s¹)˜to˜À<½s‘UR>����ŸûFu�‘ˆ…»1Ž‘ˆ…Ÿöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘ û¼¹(½m‘[™À‘[˜¹1)˜in˜aŽ¡�‘'w•¬ra“y› whic“h,‘CÅfor˜certain˜in“teger˜v‘ÿXäalues˜of˜½s¹,‘CÅexpresses˜it‘ as˜a˜ nite˜sum˜in˜termsŽŽŸ�’ä 10ŽŽŒ‹ ƒ x€� ý¤€ =€� ýç€�‘'¹of–fW‘ÿVeierstrass›felliptic“functions;‘£±for“½m–'J¹=“4–ffull˜details“can“b�SŽe˜found“b�SŽelo�¬rw.ޤ€�‘'But–q the‘q correspšSŽonding“pro˜cess›q for“other“v‘ÿXäalues˜of“½m˜¹in�¬rtro�SŽduces“functionsŽ¡�‘'related–‚to›‚Ab�SŽelian“v‘ÿXäarieties˜of“dimension����ŸûFu�‘µ6»1Ž‘µ6Ÿöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘ (m½N‘Âæ¹with˜complex“m•¬rultiplication˜b“yŽ¡�‘'Ïo¹,‘cLwhere–ø½N‘Xܹis“the“order“of“Gal(½k�g=ÌQ¹)–V1À“¹(ÌZ½=¹(½n¹))�Ÿû¥2ÁŽ‘À¹;‘® and–øthe“theory“of“suc�¬rhŽ¡�‘'functions–¶žis›¶Ÿnot“y�¬ret“explicit“enough˜to“meet“our˜needs.‘'‡W‘ÿVe“therefore˜ha•¬rv“e‘¶žtoŽ¡�‘'pro�SŽceed–ê¨in“a“di erenš¬rt“w˜a˜y‘ÿV.Ž¡�‘8ŸôW‘ÿVe–žíb�SŽegin›žìb�¬ry“obtaining˜the“functional“equation,‘ ýusing“the˜metho�SŽds“ofŽ¡�‘'Hec•¬rk“e–Wbrather“than›Wathose“of“T‘ÿVate's“thesis.‘ One“reason“for“this˜c�¬rhoice“is“thatŽ¡�‘'Hec•¬rk“e's–ê¨methošSŽd“giv�¬res“more“information“ab˜out“the“theta“series.‘8àDe ne“ “b�¬ryŽŸ¤��’€ ½J‘r¹(Ìr½;–ÿþ¹(½ ›ªO¹))��“ŸïqÃŽ�Ÿø¦d��‘ ~éÌa�Ÿû¥2ÍrŽŽŽŸÿ��‘ ÕV¹(�ŸüÕW�‘°ãŽŸ*©�½ ŽŽ‘Lm¹)ŽŽŽ�‘EKŸïqÃŽŽ�‘$£Ÿ ÿÿ¾nŽ‘-E¹=‘UR (½ ˜¹)���“Ÿô™–ÃYŽŽŸ ÌÒ�‘Ón¾cŽŽ‘UV¹(½�ŸÌÌÁ¾cŽ‘ Êñ½ ˜¹)�Ÿû ™¾ »(Ír¾c�Ÿý-:¼1Ž‘ ñÀ»)Ž‘?½;ŽŸ"Ï@�‘'¹so–/that›. (½ ‘ªO¹)“as˜a“function˜of˜Ìa�Ÿû¥2ÍrŽ‘ �þ¹is“a˜Diricš¬rhlet“c˜haracter›.whose“v‘ÿXäalues˜areŽ¡�‘'pšSŽo•¬rw“ers–Õ of“½‘½ ¹and“½n�Ÿû¥2»2Ž�‘ÀŸöÿûÃQŽ‘W½a�ŸÌ̾iŽ‘9å¹is“a“de ning“ideal“for“it.‘øThe“only“prop˜ert�¬ry“of“ Ž¡�‘'that–ýå¹(½m‘ņÀ‘Å…¹1)–wš¬re“then“assign“À½c“¹to“ÀC�ŸÌ̾mÁ¾j�vÁ»1Ž‘c¹.‘¯?This“lea˜v˜es“in“lim˜b�SŽo“the“À½c“¹forŽ¡�‘'whicš¬rh–B“½c“¹is‘B”in“ÀC�ŸÝß»(¾mÁ»1)¾=»2Ž‘!ýÀ¹;‘n‰they“should“b�SŽe“though˜t›B”of“as“nearly“but˜not“quite“inŽ¡�‘'ÀC�ŸÝß»(¾mÁ»1)¾=»2Ž‘!ýÀ¹.‘8àIn–ê¨this“notation“wš¬re“ha˜v˜eŽŸ2Ÿ��Ÿþ€�����Ÿ€©�ŸÐ&…���‘`4½L¹(½s¹)ŽŽ��‘z4h=���‘URŸô™–ÃXŽŽŸ%Ÿ�‘ Þ|ÐbŽŽ‘ª¨¹ (½ –ªO¹)(��NormŽŽ‘ M½ “¹)�Ÿû ™Á¾sŽ����‘ ´Ÿô™–ÃYŽŽŽŽ�‘` Ÿö‘ ÁŽ‘ Àf¹(½�Ÿû ™��n9Á»1ŽŸëÚ�Á¾cŽŽ› ʵ½ “¹)�Ÿû ™¾jŽ‘f ¹(½�Ÿû ™��n9Á»1ŽŸëÚ�¾cŽŽ˜½ “¹)�Ÿû ™¾mÁ»1Á¾jŽ‘cÂÀgŽŽŽŸ €©���‘z4h¹=���‘URŸô™–ÃXŽŽŸ%Ÿ�‘ Þ|ÐbŽŽ‘ª¨¹ (½ –ªO¹)����Ÿô™–ÃYŽŽŽŽ�‘UXŸö‘ ÁŽ‘\Àf¹(½�Ÿû ™��n9Á»1ŽŸëÚ�¾cŽŽ› ʵ½ “¹)�Ÿû ™¾mÁ»1Á»2¾jŽ‘!£Æ¹(½�Ÿû ™��n9Á»1ŽŸëÚ�Á¾cŽŽ˜½ “:�Ÿû ™��n9Á»1ŽŸëÚ�¾cŽŽ˜½ “¹)�Ÿû ™¾j�vÁ¾sŽ‘ð¾Àg½:ŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸ.Á)�‘'¹F‘ÿVor–ƈsimplicitš¬ry“w˜e“no˜w“assume“that“½k‘-¥¹has“class“n˜um˜b�SŽer“1.‘,Õ(If“this“h˜yp�SŽothesisŽ¡�‘'is–eÌdropp�SŽed,‘„”the“argumenš¬rt“whic˜h‘eËfollo˜ws“only“needs“some‘eËfurther“notationalŽ¡�‘'complications;‘÷but–HMI‘Gósee“no›HLp�SŽoin�¬rt“in“extending“the˜computations“to“ eldsŽ¡�‘'with–ê¨class“n•¬rum“b�SŽer–ê¨greater“than“1.)‘8àW‘ÿVriteŽ©Z�‘Eä$½#�Ÿû ™»0Ž‘À¹(Ìy•0½;›ÿþÌv“½;˜Ïf¹)–UR=���“Ÿô™–ÃXŽŽŸ ÌÒ�‘h0¾ Á2ÐoŽŽ�‘ª¨¹expŽ‘(ž*Àf¹2½���‘n7Ÿô™–ÃXŽŽŸ¶�‘“ÍÁC��mrŸý¸ä¼+ŽŽŽ‘Ã�½y�ŸÌ̾cŽ–.y½d�ŸÌ̾cŽ“¹(½�ŸÌ̾cŽ“¹(½f›Gÿ ��¹)–ª¨+“½v�ŸÌ̾cŽ‘.y¹)(½�ŸÌÌÁ¾cŽ‘ Êñ¹(½f˜ ��¹)“+“½v�ŸÌÌÁ¾cŽ‘ Êñ¹)ÀgŽŸ#ÿ�‘'¹where›��the–�޽y�ŸÌ̾cŽ‘ °¹and“½d�ŸÌ̾cŽ‘ °¹are˜real˜and“p�SŽositiv�¬re.‘ ý”W‘ÿVe“shall˜c�¬rho�SŽose“the˜½d�ŸÌ̾cŽ‘ °¹later.Ž¡�‘'The–a½v�ŸÌ̾cŽ‘�|¹will“satisfy›a½v�ŸÌ̾cŽ‘M?¹=�‘ÅŸöÿûÃPŽ‘Ép½�Ÿû¥2�‘è¾ctŽŸRA�nŽŽ‘(D½u�ŸÌ̾tŽ‘ò͹where“the˜½u�ŸÌ̾tŽ‘ò̹are˜real;‘œ0thš¬rus“w˜e‘acan“iden˜tifyŽ¡�‘'the–U�space›U�of“Ìv‘…�¹with“the˜space“of“Ìu¹,‘pIwhicš¬rh“is“ÌR�Ÿû¥2¾nŽ‘¨P¹.‘y—In“particular“w˜e‘U�shall“useŽ¡�‘'this–Óiden�¬rti cation“to“determine“a“measure“on‘Óthe“Ìv�0¹-space.‘ñëSince“½#�Ÿû¥2»0Ž‘ “¹is“notŽ¡�‘'a ected›e2b•¬ry‘e3m“ultiplying˜½f‘­1¹b“y–e3a˜unit,‘ƒÕit˜do�SŽes“not˜dep�SŽend“on˜the˜c�¬rhoice“of˜½f‘Gÿ¹.Ž¡�‘'The–âgseries“for“½#�Ÿû¥2»0Ž‘À¹,‘ä likš¬re“all“the“analogous“theta“series“whic˜h“w˜e“shall“consider,Ž¡�‘'is›d}absolutely‘d|con•¬rv“ergen“t˜and–d|uniformly˜so“pro�¬rvided˜Ìy–”|¹and˜Ìv“¹lie˜in‘d|b�SŽoundedŽ¡�‘'domains–[&and“eacš¬rh“½y�ŸÌ̾cŽ‘‰Ÿ¹is“b�SŽounded“a˜w˜a˜y“from“0.‘ŠYThis“is“enough“to“justify“allŽ¡�‘'the–ê¨manipulations“whicš¬rh“follo˜w.Ž¡�‘8ŸôLet–J¬“bšSŽe“the“lattice“of“p˜oinš¬rts“Ìu‘J«¹in“ÌQ�Ÿû¥2¾NŽ‘ cð¹for“whic˜h“the“asso�SŽciated“Ìv‘z¬¹are“suc˜hŽ¡�‘'that–8|eacš¬rh“½v�ŸÌ̾cŽ‘fõ¹is‘8{in“Ïf¹.‘"\Th˜us“½v�ŸÌ̾cŽ‘D¹=‘Ùʽ�ŸÌ̾cŽ‘.y½v�ŸÌÌ»1Ž‘ø€¹for“suc˜h“Ìv‘h|¹and“½#�Ÿû¥2»0Ž‘ø€¹is‘8{p•SŽerio“dic–8|in“Ìu“¹withŽ¡�‘'–ê¨as“its“lattice“of“p•SŽerio“ds.‘8àLet›ê¨Ïd–UR¹=“(½�s2¹)˜b�SŽe˜the˜di eren•¬rt˜of˜½k�g¹;˜th“usަ�’œJ#Ïd–UR¹=“(½n���‘ÿþŸô™–ÃYŽŽŸ™Ÿ�‘Äš¾pÁj¾nŽŽ‘UV¹(1–ª¨À�“¹expŽ‘ž*(2½�n9i=p¹))�Ÿû ™Á»1Ž‘ \|¹)½:ŽŽŸ�’ä ¹12ŽŽŒ‹ ¡ x€� ý¤€ =€� ýç€�‘'¹F‘ÿVor–¦(½›¦'¹in“½k‘ E¹with˜½�ŸÌ̾cŽ‘Âð¹=‘”x½�ŸÌ̾cŽ–.y½¹,�‘ÕŸöÿûÃPŽ‘²½�ŸÌ̾cŽ“½v�ŸÌ̾cŽ‘Ô¡¹is˜in–¦(ÌZ“¹for˜eac�¬rh“Ìv‘Ö(¹asso�SŽciated˜with“someޤ€�‘'p�SŽoinš¬rt–ê¨of““if“and“only“if“½“¹is“in“(Ïdf¹)�Ÿû¥2Á»1Ž‘ \|¹.‘8àTh˜us“½#�Ÿû¥2»0Ž‘ª¬¹has“a“F‘ÿVourier“expansionŽŸ™ž�’�>¢½#�Ÿû ™»0Ž‘V¹=���‘ ÂvŸô™–ÃXŽŽŸ¾˜�‘UR¾Á2»(Ðdf»)�Ÿý¸ä¼1ŽŽŽ‘'„ï½b¹(½¹)�‘ÿþexpŽ‘ó€Àf¹2½�n9i���‘ÿþŸô™–ÃXŽŽŸ�‘3ËÁCŽŽ‘UT½�ŸÌ̾cŽ–.y½v�ŸÌ̾cŽ“Àg½:ŽŸ(Ä�‘'¹If–꨽V‘‡¹is“the“v�¬rolume“of“ÌR�Ÿû¥2¾NŽ‘D½=¹“thenŽŸ3ô¯��Ÿþ€�����Ÿt®�ŸÑl���‘jÊ8½b¹(½¹)–UR=“½V�‘œpŸû ™Á»1Ž�‘øêŸïª¢ÃZŽ‘øê½#�Ÿû ™»0Ž�‘À¹expŽ‘³„Àf¹2½�n9i���‘ÿþŸô™–ÃXŽŽŽ‘UT½�ŸÌ̾cŽ–.y½v�ŸÌ̾cŽ“Àg½dÌuŽŽŽŸª½���‘nй=‘UR½V�‘œpŸû ™Á»1Ž�‘øêŸïª¢ÃZŽ�‘øê¹expŽ‘/ìlÀf¹2½�n9¹(���Ÿô™–ÃXŽŽŸ¶�‘%–ÁC��mrŸý¸ä¼+ŽŽŽ‘UV½y�ŸÌ̾cŽ–.y½d�ŸÌ̾cŽ“½v�ŸÌ̾cŽ“½v�ŸÌÌÁ¾cŽ‘ u™¹+‘ª¨½i���‘ÿþŸô™–ÃXŽŽŸ�‘3ËÁCŽŽ‘UT½�ŸÌ̾cŽ“½v�ŸÌ̾cŽ“¹)Àg½dÌuŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸ1Æó�‘'¹where–í“the“ rst“inš¬rtegral‘í”is“tak˜en“o˜v˜er“ÌR�Ÿû¥2¾NŽ‘D½=¹“and“the‘í”second“in˜tegral“is“tak˜enŽ¡�‘'o•¬rv“er–!YÌR�Ÿû¥2¾NŽ‘D¹.‘ÜóIn“the“last“inš¬rtegral“w˜e“replace‘!Zeac˜h“½v�ŸÌ̾cŽ‘OÒ¹b˜y“½v�ŸÌ̾cŽ‘þ]À‘Ïå½i�ŸÌÌÁ¾cŽ‘ Êñ½=y�ŸÝßÁj¾cÁjŽ–ça½d�ŸÝßÁj¾cÁjŽ“¹.‘ÜóDoingŽ¡�‘'so–mµshifts“eacš¬rh“in˜terv‘ÿXäal‘m´(À1½;‘ÿþÀ1¹)“of“in˜tegration“b˜y“an“imaginary“constan˜t,‘†²butŽ¡�‘'bš¬ry–ê¨a“standard“argumen˜t“w˜e“can“shift“it“bac˜k;“hence“w˜e“obtainŽŸîò�’ˆ¢`½b¹(½¹)–UR=“½V�‘œpŸû ™Á»1Ž‘ øì½I�‘ñ�¹expŽ‘åÀf¹2½���‘n7Ÿô™–ÃXŽŽŸ¶�‘“ÍÁC��mrŸý¸ä¼+ŽŽŽ‘Ã�½�ŸÌ̾cŽ–.y½�ŸÌÌÁ¾cŽ‘ Êñ½=y�ŸÌ̾cŽ“½d�ŸÌ̾cŽ“ÀgŽŸ%>–�‘'¹whereŽŸœz�‘z]‡½I‘FÕ¹=�‘URŸïª¢ÃZŽ�ŸòÕM�‘UTÁ1ŽŸ�‘ ÿþ1ŽŽ�‘œ|½:–ÿþ:“:Ž�‘+gŸïª¢ÃZŽ�ŸòÕM�‘7gÁ1ŽŸ�‘2Æ1ŽŽ�‘C®D¹expŽ‘U¡ÆÀf¹2½���‘n7Ÿô™–ÃXŽŽŸ¶�‘“ÍÁC��mrŸý¸ä¼+ŽŽŽ‘Ã�½y�ŸÌ̾cŽ–.y½d�ŸÌ̾cŽ“½v�ŸÌ̾cŽ“½v�ŸÌÌÁ¾cŽ‘ ÊñÀg½dÌu½:ŽŸ¾–�‘'¹This–'2in�¬rtegral“can›'3b�SŽe“ev‘ÿXäaluated“explicitly;‘Ewbut˜all“wš¬re“need“to“kno˜w‘'3is“that“itŽ¡�‘'is–ê¨equal“to“a“constanš¬rt“p�SŽositiv˜e“m˜ultiple“of�“ŸöÿûÃQŽ‘?ÿ¹(½y�ŸÌ̾cŽ–.y½d�ŸÌ̾cŽ“¹)�Ÿû¥2Á»1Ž‘ \|¹.‘8àTh˜usŽŸ™£��‘]&Ž#�Ÿû ™»0Ž‘V¹=‘UR½V�‘œpŸû ™Á»1Ž‘ øì½I���‘ñ�Ÿô™–ÃXŽŽŸ ÌÒ�‘ §¾ŽŽ�‘F×¹expŽ‘(:YÀf¹2½���‘n7Ÿô™–ÃXŽŽŸ¶�‘“ÍÁC��mrŸý¸ä¼+ŽŽŽ‘Ã�½�ŸÌ̾cŽ–.y½�ŸÌÌÁ¾cŽ‘ Êñ½=y�ŸÌ̾cŽ“½d�ŸÌ̾cŽ‘Ù!¹+‘ª¨2½�n9i���‘ÿþŸô™–ÃXŽŽŸ�‘3ËÁCŽŽ‘UT½�ŸÌ̾cŽ“½v�ŸÌ̾cŽ“Àg½:Ž��’�ü|¹(5)ŽŽŽŸ%ã’�‘'This–í˜�‘'¹whereŽ¡�’„rȽW�ŸÌÌ»1Ž‘À¹( )–UR=���“Ÿô™–ÃXŽŽŸ ÌÒ�‘ Éx¾vŽŽ‘ª¨¹ (�ŸüÕW�‘°ãŽŸ*©�½ ŽŽ›Lmv•n9¹)�‘ÿþexpŽ‘ó€Àf¹2½“i��¹T‘ÿVrŽŽ‘ †(�ŸüÕW�‘°ãŽŸ*©�½ ŽŽ˜v“=f‘Gÿ�s2¹)ÀgŽŸ€�‘'¹with–m½v‘ÛH¹running“through“a“set“of“represen•¬rtativ“es–mof“the“classes“in“(Ïo½=Ïf¹)�Ÿû¥2ÁŽ‘À¹.‘SinceŽ¡�‘'½ ‘ÉJ¹is›üprime–ûto“Ïf¹,‘,there“is“one˜suc�¬rh�ŸüÕW�‘ÏÞŽŸ*©�“½ ŽŽ‘ khv‘�4¹in˜eac�¬rh“class˜of“(Ïo½=Ïf¹)�Ÿû¥2ÁŽ‘À¹;‘9%so“w�¬re˜can“writeŽ¡�‘'the–ê¨last“equation“asަ�’‹¿5½W�ŸÌÌ»1Ž‘À¹( )–UR=���“Ÿô™–ÃXŽŽŸ ÌÒ�‘ Éx¾vŽŽ‘ª¨¹ (½v•n9¹)�‘ÿþexpŽ‘ó€Àf¹2½“i��¹T‘ÿVrŽŽ‘ †(½v“=f‘Gÿ�s2¹)ÀgŽŸ%�‘'¹where–ì½v‘ZM¹runs“through“a“set›ìof“represen•¬rtativ“es‘ìof˜(Ïo½=Ïf¹)�Ÿû¥2ÁŽ–À¹.‘='Here˜½W�ŸÌÌ»1Ž“¹( )‘ìdo�SŽesŽ¡�‘'dep�SŽend–œon›œthe“c�¬rhoice˜of“½‘I¹and“½f‘Gÿ¹.‘°Explicitly‘ÿV,‘«Íif“w•¬re˜m“ultiply–œ½‘I¹or“½f‘ä¹b�¬ry“a˜unit“½Ž¡�‘'¹wš¬re–$*also“m˜ultiply‘$)½W�ŸÌÌ»1Ž‘ä.¹b˜y“ (½¹).‘åfThe›$)function“½#“¹also“dep�SŽends“on˜the“c�¬rhoice“ofŽ¡�‘'½�s2¹,–ê¨but“in“a“more“complicated“w•¬ra“y‘ÿV.Ž¡�‘8ŸôOn–ê¨the“left“hand“side“w�¬re“obtainŽŸ€����‘JiŽŸô™–ÃXŽŽŸ'Ø�‘P}¾ ŽŽ‘]¾ä¹ (½ ›ªO¹)�‘ÿþexpŽ‘ó€Àf¹2½���‘n7Ÿô™–ÃXŽŽŸ¶�‘“ÍÁC��mrŸý¸ä¼+ŽŽŽ‘Ã�½y�ŸÌ̾cŽ–.y½d�ŸÌ̾cŽ“¹(½�ŸÌ̾cŽ“½ ˜¹)(½�ŸÌÌÁ¾cŽ‘ Êñ½ ˜¹)Àg����Ÿô™–ÃYŽŽŽŽ�‘UXŸö‘ ÁŽ‘\¹(½y�ŸÝßÁj¾cÁjŽ–ça½d�ŸÝßÁj¾cÁjŽ“½�ŸÌÌÁ¾cŽ‘ Êñ½ ˜¹)�Ÿû ™¾mÁ»2¾j�vÁ»1ŽŽŽŸ�’ä ¹14ŽŽŒ‹¼, x€� ý¤€ =€� ýç€�‘'¹where–ê¨the“sum“is“o•¬rv“er–ê¨all“elemenš¬rts“½ ‘ÿ¡¹=‘UR½f‘Gÿ ‘¾7¹+‘ª¨½v‘Xá¹of“Ïo¹.‘8àTh˜us“if“w˜e“writeŽ©eÜ�‘?·½�S޹(Ìy�0½;›ÿþ¹ )–UR=���“Ÿô™–ÃXŽŽŸ'Ø�‘ hà¾ ŽŽ‘ª¨¹ (½ ‘ªO¹)�˜expŽ‘ó€Àf¹2½���‘n7Ÿô™–ÃXŽŽŸ¶�‘“ÍÁC��mrŸý¸ä¼+ŽŽŽ‘Ã�½y�ŸÌ̾cŽ–.y½d�ŸÌ̾cŽ“¹(½�ŸÌ̾cŽ“½ –ªO¹)(½�ŸÌÌÁ¾cŽ› Êñ½ “¹)Àg����Ÿô™–ÃYŽŽŽŽ�‘UXŸö‘ ÁŽ‘\¹(½�ŸÌÌÁ¾cŽ˜½ “¹)�Ÿû ™¾mÁ»2¾j�vÁ»1ŽŽŸ%'I�‘'¹then–ê¨wš¬re“ha˜v˜eޤ€��’˜ã6½•S޹(Ìyš0½;‘ÿþ¹ )����Ÿô™–ÃYŽŽŽŽ�‘UXŸö‘ ÁŽ‘\½y�ŸúO¦��n9¾mÁ»2¾jŽŸ y¹�Áj¾cÁjŽŽ‘ŠÕ¹=‘UR½W‘¡Æ“¹(Ìy�˜Ÿû ™Á»1Ž‘ Œ|½;‘ÿþ¹ )Ž��’�ü|(7)ŽŽŽŸ$‹�‘'for–Umsome“½W‘÷3¹indep�SŽendenš¬rt“of“the“½y�ŸÌ̾cŽ‘.y¹,‘pwhere“Ìy��0Ÿû¥2Á»1Ž‘áé¹is“the“v˜ector“of“the“½y�Ÿû¥2��n9Á»1ŽŸRA�¾cŽŽ‘ "¹for“½cŽ¡�‘'¹in–ê¨ÀC�‘³5Ÿû¥2»+Ž‘Ï­¹.‘8àIn“other“wš¬rords,“replacing“Ìy‘¨¹b˜y“Ìy��0Ÿû¥2Á»1Ž‘w$¹m˜ultipliesަ�’½ F½�S޹(Ìy�0½;‘ÿþ¹ )����Ÿô™–ÃYŽŽŽŽ�‘UXŸö‘ ÁŽ‘\½y�ŸùÝß��n9¾m=»2Á¾jŽŸ ë€�Áj¾cÁjŽŽŽŸñ�‘'¹bš¬ry–꨽W‘¡Æ¹.‘8àIt“follo˜ws“from“this“that“½W�‘¡ÆŸû¥2»2Ž‘ ·¹=‘UR1.‘8àIn“fact“w˜e“ha˜v˜eŽŸ#>�‘`ú4½W‘÷¹=‘UR½V�‘œpŸû ™Á»1Ž‘ øì½I��‘ñ�ŸëzÕà Ž���‘ qƒŸô™–YŽŽŸ¶�‘—ÁC��mrŸý¸ä¼+ŽŽŽ‘ÆÙ½y�ŸÌ̾cŽ�‘.yŸëzÕÃ!ŽŽ��‘3/øŸò® Ž����‘:Z¤Ÿô™–YŽŽŽŽ�‘I¯üŸö‘ ÁŽ‘Np¹(½i�ŸÌ̾cŽ‘.y¹(½f‘Gÿ�s2¹)½d�ŸÝßÁj¾cÁjŽ‘ça¹)�Ÿû ™»2¾j�v»+1Á¾mŽ�‘!£ÆŸò® ÃŽŽ’¶ G½W�ŸÌÌ»1Ž‘À¹( )½:ŽŸ$'G�‘8Ÿô¹The–ê¨Mellin“transform“formš¬rula“giv˜esŽŸÚ��‘6ó,Ÿïª¢ÃZŽ�ŸòÕM�‘Bó.Á1ŽŸ�‘=�Ø»0ŽŽ�‘Mó4¹expŽ‘_æ¶Àf¹2½•n9y“d�ŸÌ̾cŽ–.y¹(½�ŸÌ̾cŽ“½ –ªO¹)(½�ŸÌÌÁ¾cŽ› Êñ½ “¹)Àg½y��n9Ÿû ™¾sÁ¾jŽ���Ÿ÷áÅ�‘’*½dyŽ‘’*Ÿ[«‰zà C០ýÎ�‘ �yŽŽŽŽ‘!^�¹=‘UR(½s–ª¨À“½j‘¬Ó¹)Àf¹2½�n9d�ŸÌ̾cŽ–.y¹(½�ŸÌ̾cŽ“½ –ªO¹)(½�ŸÌÌÁ¾cŽ˜½ “¹)Àg�Ÿû ™¾j�vÁ¾sŽŽŸ Ÿn�‘'¹for–꨽c“¹in“ÀC�‘³5Ÿû¥2»+Ž‘Ï­¹.‘8àThen“pro�¬rvided“À<½s‘UR>����ŸûFu�‘ˆ…»1Ž‘ˆ…Ÿöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘ û¼¹(½m–ª¨¹+“1),ŽŸ!ry��‘SËp½L¹(½s¹)����Ÿô™–ÃYŽŽŽŽ�‘UXŸö‘ ÁŽ���Ÿ÷áÅ�‘4A¹(½s–ª¨À“½j‘¬Ó¹)Ž‘H�Ÿ[«‰zà4*Ÿ ýÎ�(2½�n9d�ŸÝßÁj¾cÁjŽ‘ça¹)�Ÿüˆ‰¾sÁ¾jŽŽŽŽŽ‘Mà>¹=�‘URŸïª¢ÃZŽ�ŸòÕM�‘UTÁ1ŽŸ�‘ ÿþ»0ŽŽ�‘UZÀ–ÿþ“Ž�‘*UVŸïª¢ÃZŽ�ŸòÕM�‘6UXÁ1ŽŸ�‘1»0ŽŽ‘AU^½��SŽŸû ™ÁŽ‘’¹(Ìy�0½;‘ÿþ¹ )����Ÿô™–ÃYŽŽŽŽ�‘UXŸö‘ ÁŽ��‘ZŸïqÃŽ‘ê²½y�ŸúO¦��n9¾sÁ¾jŽŸ y¹�Áj¾cÁjŽŽ���Ÿ÷t�‘’*½dy�ŸÝßÁj¾cÁjŽŽ‘’*ŸÉ_‰zའŸ ýÎ�‘ �½y�ŸÝßÁj¾cÁjŽŽŽŽŽ�‘&‚fŸïqÃŽŽŽ��’�ü|¹(8)ŽŽŽŸ W"�‘'whereŽŸh±�‘:þï½��SŽŸû ™ÁŽ‘’¹(Ìy�0½;›ÿþ¹ 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C¹is���ŸûFu�‘4s»1Ž‘qŸöû‰zà€Ÿåê�16ŽŽŽŽ‘¨ê¹ifަ�‘'½a–йis“a“square“and����ŸûFu�‘P»1Ž‘PŸöû‰zà@Ÿåê�4ŽŽŽŽŽ‘F¤¹otherwise.‘0(Th�¬rus“½F‘qâ¹is“almost“but“not“quite“a“pro�SŽduct“ofަ�‘'lo�SŽcal–ê¨factors.)‘8àRecall“also“that“the“T‘ÿVate-Safarevic“group“is“an“½H�‘íVŸû¥2»1Ž‘­Z¹.ަ�‘8ŸôThe›€0case‘€1½m––¹=“3˜is˜the–€1one˜considered“in˜[3];‘Jõw�¬re˜summarize“here˜theަ�‘'relev•¬ren“t–]ãpart“of“the“conclusions.‘ óThe“t•¬rw“o–]ãtetrads“whicš¬rh“giv˜e“rise“to“transcen-ަ�‘'den�¬rtal–ÓÏL-functions›ÓÎare“(1½;–ÿþ¹1½;“¹1½;“¹1)‘ÓÏand˜(3½;“¹3½;“¹3½;“¹3),‘Øaand˜it–ÓÏis“enough˜to“considerަ�‘'the–ÕC rst›ÕBof“these.‘ø¯Denote“b�¬ry“½a˜¹the“fourth-p�SŽo•¬rw“er-free˜part‘ÕCof˜½a�ŸÌÌ»0Ž–À½a�ŸÌÌ»1Ž“½a�ŸÌÌ»2Ž“½a�ŸÌÌ»3Ž‘ •G¹andŽŸÕS�‘'write›4û½¹(Ïa¹)–ÓÕ=��“ŸïqÃŽ�Ÿø¦d��‘ ©-½aŽŽŸÿ��‘ ½ùÏaŽŽŽ�‘Ô.ŸïqÃŽŽ�‘©†Ÿ ÿÿ»4Ž‘ iй;‘Z$up–4üto˜a˜p�SŽossible˜factor“asso�SŽciated˜with˜the˜prime“2˜theŽŸ32�‘'L-series‘ê¨isަ�’¢Ÿ7½M‘@ä¹(½a;‘ÿþs¹)–UR=����“Ÿô™–ÃYŽŽŽŽ�‘ªªŸö‘ Á0Ž��‘¢×¹Ž�‘xã½ ���Ÿû ™»2ŽŽŽ‘!ů¹(½ ��‘=ƒ¹Ž���½ ŽŽ‘ W¹)�Ÿû ™Á¾sŽ‘ ´½¹(Ïa¹)ŽŸŸ�‘'where–$Áthe›$Âsum“is˜takš¬ren“o˜v˜er›$Âall“o�SŽdd˜ideals“Ïa˜¹in“ÌZ¹[½i¹]“prime˜to“½a˜¹and“Ïa‘¸7¹=‘¸6(½ ��¹)ަ�‘'with‘꨽ ‘háÀ‘UR¹1�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:(2–ª¨+“2½i¹).‘8àLetŽ¡��‘}P×½a–UR¹=“2�Ÿû ™¾vŽ‘í ½c�ŸÌÌ»0Ž��‘ü¹withŽŽ‘3Ƚ“¹=“À¹1½;‘UPc�ŸÌÌ»0Ž‘VÀ“¹1�‘ ÿômo�SŽdŽ‘&…64½:Ž��’˜€¹(11)ŽŽŽ¡�‘'Because–d£À¹4“is›d¤a“fourth“p�SŽo•¬rw“er‘d£in˜ÌQ¹(½i¹),‘qw“e–d£need“only“consider˜½a–UR>“¹0.‘ 3Let˜½ ‘Òܹb�SŽeަ�‘'the–R3c�¬rharacter“satisfying“½ �n9¹(½ š�¹)–UR=“½¹(Ïa¹)–R3where“Ïa–UR¹=“(½ ˜¹)‘R3and‘R4½ ‘háÀ“¹1�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:(2‘sA+‘sB2½i¹);ަ�‘'and–GNextend“this“b�¬ry›GOwriting“½ �n9¹(½i¹)–ó=“À¹1.‘NÒThe˜o�SŽdd–GNpart“of“Ïf¹,‘^xthe“conductor“ofަ�‘'½ �n9¹,–ê¨is“the“prošSŽduct“of“the“o˜dd“primes“dividing“½a“¹and“the“ev�¬ren“part“isŽ¡����‘xÚ–8ŽŽŽ�����’ŠzŠif–꨽v‘Xá¹is“o�SŽddŽŽ’¾YU½;ŽŽŽŽ¤€����‘xÚ–¹4ŽŽŽ�����’ŠzŠif‘꨽v‘ËÀ‘UR¹1–ª¨+“½�‘ ÿô¹mo�SŽdŽ‘&…64ŽŽ’ðØ×½;ŽŽŽŽ¡����‘xÚ–¹2ŽŽŽ�����’ŠzŠif›꨽v‘ËÀ‘UR¹1–ª¨À“½�‘ ÿô¹mo�SŽdŽ–&…64˜and˜½c�ŸÌÌ»0Ž‘VÀ‘UR¹1�‘ ÿômo�SŽdŽ“8ŽŽ’WáÞ½;ŽŽŽŽ¡����‘xÚ–¹1ŽŽŽ�����’ŠzŠif›꨽v‘ËÀ‘UR¹1–ª¨À“½�‘ ÿô¹mo�SŽdŽ–&…64˜and˜½c�ŸÌÌ»0Ž‘VÀ‘UR¹5�‘ ÿômo�SŽdŽ“8ŽŽ’WáÞ½:ŽŽŽŽŽŸ�’ä ¹18ŽŽŒ‹ú‹ x€� ý¤€ =€� ýç€�‘'¹Cho�SŽose–—á½f‘Ä)>›|*¹0“so“that‘—àÏf˜¹=‘|+(½f‘Gÿ¹).‘@ŠW‘ÿVe“set‘—འ�n9¹(1‘ ˜+‘ ™½i¹)˜=˜½i�Ÿû¥2»(1Á¾c�Ÿý-:�¼2ŽŸN��0ŽŽ‘*§»)¾=»8Ž‘&éü¹if“½f‘ßà¹is“o�SŽdd;‘î}theޤ€�‘'missing–ê¨factor“in“the“L-series“is“thenŽŸCa�’ªÔÀf¹1–ª¨À“¹(À¹1)�Ÿû ™»(¾c�Ÿq¼0Ž‘*§Á»5)¾=»8Ž‘"R¹2�Ÿû ™»1Á¾sŽ‘J¸Àg�Ÿû ™Á»1Ž‘ \|½:ŽŸCb�‘'¹With–ê¨this“factor“included,“wš¬re“denote“the“L-series“b˜y“½L¹(½a;‘ÿþs¹).‘8àThenŽŸ\ÿ�’‘x¯½L¹(½a;‘ÿþ¹2)‘UR=����ŸûFu�‘ˆ…»1Ž‘ˆ…Ÿöû‰zà@Ÿåê�4ŽŽŽŽŽ‘ û¼½!��n9Ÿû ™»2Ž‘.=½f�‘GÿŸû ™Á»2Ž���‘¤yŸô™–ÃXŽŽŽ‘!ùϽ •n9¹(½u¹)½}¹(½!“u=f‘Gÿ¹)ŽŸ]�‘'where–Çothe‘Çpsum“is“takš¬ren“o˜v˜er‘Çpa“set“of“represen˜tativ˜es‘Çp½u“¹of“(ÌZ¹[½i¹]½=¹(½f‘Gÿ¹))�Ÿû¥2ÁŽ‘À¹.‘Ï6TheŽ¡�‘'main–ê¨conclusion“of“[3]“is“as“follo�¬rws:Ž©L ���‘'ÌTheorem‘€1ŽŽ‘lØÞºSupp‘ÿffose–8 that‘8 ½a›^C>‘^D¹0“ºand“½f‘¦C>˜¹3º;‘:tthen“½a�Ÿû¥2»1¾=»4Ž‘ @ ½f‘Gÿf�ŸÌÌ»2Ž‘À½!��n9Ÿû¥2Á»2Ž‘ ʵ½L¹(½a;‘ÿþ¹2)“ºis‘8 in“ÌZº,Ž¡�‘'wher›ÿffe–35½f�ŸÌÌ»2Ž‘ó9ºis“the“even“p˜art“of“½f‘Gÿº.ަ�‘'¹The› pro�¬rviso– ½f‘‹•>‘C•¹3“is˜essen•¬rtial˜here.‘ The˜substan“tial– tables˜in“[3]˜suggestŽ¡�‘'that,–ê¨pro�¬rvided“½a–UR>“¹0–ê¨and“½f‘�Q>‘UR¹3,ŽŸCb��’¹óØ2�Ÿû ™Á¾tŽ‘ .B½a�Ÿû ™»1¾=»4Ž‘ @ ½f‘Gÿ!��n9Ÿû ™Á»2Ž‘ ʵ½L¹(½a;‘ÿþ¹2)Ž��’˜€(12)ŽŽŽŸCa�‘'is–^Aa‘^@p�SŽositivš¬re“in˜teger,‘{'where›^@½t“¹is“the˜n•¬rum“bšSŽer–^Aof“o˜dd›^@prime“factors“of˜½f‘Gÿ¹.‘“ªIt“isŽ¡�‘'tempting–´Üto›´Ýregard“½!��n9Ÿû¥2»2Ž‘.=½=a�Ÿû¥2»1¾=»4Ž‘ @ ½f‘üܹas“a“scaling˜factor,‘¿Ÿto“call“2�Ÿû¥2¾tŽ‘F§¹a“fudge˜factor“andŽ¡�‘'to–ºÛconjecture“that›ºÚthe“in�¬rteger“(12)“is˜the“order“of“the“½H�‘íVŸû¥2»1Ž‘ h4¹idenš¬rti ed“b˜y“Blo�SŽc˜hŽ¡�‘'and– GKato.‘�¾But“in“the“three“cases“½a›Ž�¹=‘ŽŒ1½;‘ÿþ¹12“and‘ H108“for“whic�¬rh“½f‘Ö‹<˜¹4,‘¯(12)“isŽ¡�‘'not–ê¨an“in�¬rteger,“so“the“situation“cannot“b�SŽe“quite“so“simple.Ž¡�‘8ŸôAs–9ã½m›9ä¹increases,‘�²new“L-functions˜app�SŽear.‘ &’By“the“Corollary˜to“LemmaŽ¡�‘'6–ö¸they“all“ha•¬rv“e–ö¸the“form�“ŸöÿûÃPŽ‘¡c½¹(Ïa¹)½ ���Ÿû¥2¾�Ÿq¼1ŽŽ��‘ Ý„¹Ž�‘ ³�½ ���Ÿû¥2¾�Ÿq¼2ŽŽŽŽ‘àY¹(½ ��‘=ƒ¹Ž���½ ŽŽ‘ W¹)�Ÿû¥2Á¾sŽ‘l¹where“½�ŸÌÌ»1Ž‘À½;‘ÿþ�ŸÌÌ»2Ž‘¶¼¹are“non-negativ�¬reŽ¡�‘'in�¬rtegers›ªwith‘«½�ŸÌÌ»1Ž‘Ê¹+– ÿ½�ŸÌÌ»2Ž‘V¹=‘UR½m“À“¹1.‘ôáBy˜an˜ob•¬rvious‘«c“hange˜of–«v‘ÿXäariables,‘Gvit“is˜enoughŽ¡�‘'to–– consider�“ŸöÿûÃPŽ‘@˽¹(Ïa¹)��‘)ôŽ�½ ���Ÿû¥2¾ŽŽŽ‘ )Õ¹(½ ��‘=ƒ¹Ž���½ ŽŽ‘ W¹)�Ÿû¥2Á¾sŽ‘ Ô¹for“some“½a¹,‘§where“½m‘þ¹+‘ýÿ½“¹is“an‘–o�SŽdd“in�¬rteger.‘³TheŽ¡�‘'more‘ܱin•¬rteresting›ܲcase,‘3whic“h˜is–ܱthe“only˜one“whic�¬rh“will˜b�SŽe“treated“here,‘4isŽ¡�‘'when–+ʽm›+ɹis“ev�¬ren;‘kithe˜case“when˜½m“¹is“o�SŽdd˜is“similar˜except“that˜the“rule˜for“theŽ¡�‘'conductor–®[is“more“complicated“and“it“ma�¬ry“b�SŽe“necessary“to“supply“a“factorŽ¡�‘'for–꨽L¹(½s¹)“corresp�SŽonding“to“the“prime“2.‘8àThš¬rus“w˜e“writeŽŸ]��’Ÿ«ø½L�ŸÌ̾Ž‘3’¹(½s¹)–UR=���“Ÿô™–ÃXŽŽŸ ÌÒ�‘ ëûÐaŽŽ‘ª¨½¹(Ïa¹)��‘)ôŽ�½ ���Ÿû ™»2¾‘…í»+1ŽŽŽ‘ÜÚ¹(½ ��‘=ƒ¹Ž���½ ŽŽ‘ W¹)�Ÿû ™Á¾sŽŽ��’˜€¹(13)ŽŽŽŸ$Ãf�‘'where–j8½‘À‘UR¹0“is“an“inš¬rteger“and“the“sum“is“o˜v˜er“all“o�SŽdd“Ïa“¹prime“to“½a¹.‘(W‘ÿVe“dropŽ¡�‘'the–‹[previous›‹\meaning“of˜½‘Áǹ.)‘úAs“usual“w•¬re˜tak“e–‹[½ �n9¹(½ ��¹)›fÚ=‘fÛ½¹(Ïa¹)“if“Ïa˜¹=‘fÛ(½ ��¹)“andŽ¡�‘'½ ‘háÀ‘UR¹1�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:(2–&s+“2½i¹),‘¶àbut‘©ïthis–©îtime“wš¬re“extend“this“de nition“b˜y“½ �n9¹(½i¹)–UR=“½i�Ÿû¥2»2¾‘…í»+1Ž‘P¹.ŽŽŸ�’ä 19ŽŽŒ‹À x€� ý¤€ =€� ýç€�‘'¹W‘ÿVe–Ðùagain“write“½a“¹in“the“form“(11).‘0PThe“o�SŽdd“part“of“Ïf¹,›Öthe“conductor“of“½ �n9¹,˜isŽŸ€�‘'the–ê¨prošSŽduct“of“the“o˜dd“primes“dividing“½a¹;“and“this“time“the“ev�¬ren“part“isŽ©0 ���’Àð8ŽŽ�����’ʺ¿if–꨽v‘Xá¹is“o�SŽdd,ŽŽŽŽŽŽ¤€���’Àð4ŽŽ�����’ʺ¿ifŽŽ’Õ€ ½v‘ËÀ‘UR¹1–ª¨+“½�‘ ÿô¹mo�SŽdŽ‘&…64½;ŽŽŽŽ¡����’Ÿq˜¹2(1–ª¨+“½i¹)ŽŽŽ�����’ʺ¿ifŽŽ’Õ€ ½v‘ËÀ‘UR¹1–ª¨À“½�‘ ÿô¹mo�SŽdŽ‘&…64½:ŽŽŽŽ¦�‘8Ÿô¹The–�strategic“v‘ÿXäalues›€of“½s“¹are“the“in�¬rtegers“from˜½‘ŒU¹+›Ê�1“to“2½‘ŒT¹+˜1“inclusiv�¬re.ޤ€�‘'The–Mtmost›Msin�¬rteresting“of˜these“is˜½‘¯³¹+‘íì1,‘f&whic�¬rh“is˜at“the˜cen�¬rtre“of˜the“criticalŽ¡�‘'strip.‘8àT‘ÿVo›ê¨con•¬rtin“ue˜½L�ŸÌ̾Ž‘3’¹(½s¹)˜in“to˜the˜critical˜strip˜w“e˜writeŽŸ%á��Ÿþ€�����Ÿ°_�ŸÞü���‘=0Á½g�ŸÌ̾Ž‘3’¹(½z‘ˆã;‘ÿþs¹)‘UR=ŽŽ����‘o!åŽ�‘nk¬½z�‘ˆãŸû ™»2¾‘…í»+1ŽŽŽ’ˆ¹óÀj½z‘ˆãÀj�Ÿû ™Á»2¾sŽ‘õ`¹+����‘ª¨Ÿô™–ÃXŽŽŸ ÌÒ�‘ße¾uŽŽŽ�‘Ÿö‘ Á0Ž‘Î9Àf¹(��‘¶9Ž�½zŽŽ‘¨Ý¹+��‘f6Ž�‘ª¨½uŽŽ‘ Z£¹)�Ÿû ™»2¾‘…í»+1Ž‘PÀj½z‘3‹¹+‘ª¨½uÀj�Ÿû ™Á»2¾sŽŽŽŽŸ&h���‘qTÀ��‘f6¹Ž�‘ª¨½u�Ÿû ™»2¾‘…í»+1ŽŽŽ‘ªµÀj½uÀj�Ÿû ™Á»2¾sŽ›õ`À–ª¨¹(2½‘lo¹+“1“À“½s¹)��‘¶9Ž�½zŽŽ��‘¹Ã¹Ž�‘þ5½u�Ÿû ™»2¾ŽŽŽ‘!ÆÀj½uÀj�Ÿû ™Á»2¾sŽ˜¹+“½sz��‘Dq¹Ž�‘ˆã½u�Ÿû ™»2¾‘…í»+2ŽŽŽ‘ˆðÀj½uÀj�Ÿû ™Á»2Á»2¾sŽ‘'4ÀgŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸ"6S�‘'¹where–üîthe“sum“is“takš¬ren“o˜v˜er“all“nonzero‘üï½u“¹in“the“lattice“generated“b˜y“½!‘k'¹andŽ¡�‘'½i!�n9¹.‘8àThis–ê¨series“is“absolutely“con•¬rv“ergen“t–ê¨in“À<½s–UR>“‘lo¹+����ŸûFu�‘ÝÛ»1Ž‘ÝÛŸöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘ Q¹.Ž¡�‘8ŸôIn›ÖÚÀ<½s–UR>“‘Cû¹+���ŸûFu�‘µg»3Ž‘µgŸöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽ‘ ÿx¹w•¬re˜can˜split˜this˜last˜sum˜in“to˜four˜sums,‘ÚÐeac“h˜of˜whic“h˜isŽ¡�‘'absolutely› ·con•¬rv“ergen“t.‘¢Of– ¸these,�‘{ŸöÿûÃPŽ�‘Á(Ÿú*¦Á0Ž��‘Jí¹Ž�‘�_½u�Ÿû¥2»2¾‘…í»+1ŽŽŽ‘0�lÀj½uÀj�Ÿû¥2Á»2¾sŽ‘Xo¹v‘ÿXäanishes“iden�¬rtically˜b�SŽecauseŽ¡�‘'the–6terms›6cancel“in“pairs;‘[Ïand“for˜eac�¬rh“½‘÷ß¹the˜same“is“true˜of“one“of˜the“lastŽ¡�‘'t•¬rw“o–ê¨sums.‘8àHence“wš¬re“ha˜v˜eŽŸ0 ��Ÿþ€�����Ÿ ÿÿ�Ÿê&d���‘IÔ½g�ŸÌ̾Ž›3’¹(½z‘3‹¹+–ª¨½!�n9;‘ÿþs¹)“À“½g�ŸÌ̾Ž˜¹(½z‘ˆã;‘ÿþs¹)–UR=“½s!šn9h�ŸÌ̾‘…í»+1Ž‘¹(½s–ª¨¹+“1)“À“¹(2½‘lo¹+“1“À“½s¹)½!˜h�ŸÌ̾Ž‘3’¹(½s¹)½;ŽŽŽŸ€���‘IÔg�ŸÌ̾Ž›3’¹(½z‘3‹¹+–ª¨½i!�n9;‘ÿþs¹)“À“½g�ŸÌ̾Ž˜¹(½z‘ˆã;‘ÿþs¹)–UR=“½si!šn9h�ŸÌ̾‘…í»+1Ž‘¹(½s–ª¨¹+“1)“+“(2½‘lo¹+“1“À“½s¹)½i!˜h�ŸÌ̾Ž‘3’¹(½s¹)ŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸwÁ�‘'where›%Øw•¬re‘%Ùha“v“e˜written–%Ù½h�ŸÌ̾Ž‘� 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Ê$¹n˜umerically‘ÿV,‘È6b�SŽecause“theަ�‘'comp�SŽonen�¬rts–ê¨of“it“are“large“compared“to“their“sum.ަ�‘8ŸôLet–ÀF½f�ŸÌÌÁŽ‘ €J¹b�SŽe›ÀEin“ÌQ‘<À\‘<Ïf“¹and“not“divisible“b•¬ry˜an“y–ÀFprime“in“Ïo˜¹whic�¬rh“do�SŽes“notަ�‘'divide–SeÏf¹.‘sIn“(13)‘Sfw�¬re“write“½ ‘(¹=›™½f�ŸÌÌÁŽ‘À½u!��n9Ÿû¥2Á»1Ž‘¼­¹+‘ñ÷½ ‘ú�¹where“½ ‘®¶À˜¹1�‘ÿømo�SŽdŽ‘"…:(2‘ñ÷+‘ñø2½i¹)“runsަ�‘'through–ê¨a“set“of“represen•¬rtativ“es–ê¨of“the“relev•¬ren“t–ê¨classes“in“(Ïo½=f�ŸÌÌÁŽ–À¹)�Ÿû¥2ÁŽ“¹.‘8àTh�¬rusŽŸ#c—��‘~-~½L�ŸÌ̾Ž›3’¹(½s¹)–UR=��“ŸïqÃŽ���Ÿ÷áÅ�‘ѽ!Ž‘ ]ÝŸ[«‰zà Š¬Ÿ ýÎ�f�ŸÌÌÁŽŽŽŽŽ�‘¼ŸïqÃŽŽ�‘!ñŸñÄ<»2¾sÁ»2¾‘…íÁ»1Ž���‘G ÜŸô™–ÃXŽŽŸ ÌÒ�‘MI³¾ ŽŽ‘Za2½¹(½ –§¹)½g�Ÿû ™��n9ÁŽŸëÚ�¾ŽŽ˜¹(½ “!�n9=f�ŸÌÌÁŽ‘À½;‘ÿþs¹)Ž��’˜€(14)ŽŽŽŸ'oœ�‘'in› ôÀ<½s–‘g>“‘„x¹+���ŸûFu�‘õã»3Ž‘õãŸöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽ‘ i¹.‘¢ÅBoth˜sides‘ õare˜holomorphic˜in˜À<½s“>“‘„x¹+����ŸûFu�‘õã»1Ž‘õãŸöû‰zà@Ÿåê�2ŽŽŽŽŽ‘ w¹so‘ õthe˜conclusionަ�‘'extends–ê¨to“that“region.ŽŽŸ�’ä 21ŽŽŒ‹&N x€� ý¤€ =€� ýç€�‘8Ÿô¹Similar–A1argumenš¬rts“giv˜e“closed“form˜ulae“for“½L�ŸÌ̾Ž‘3’¹(½s¹)“for“½s–UR¹=“½‘K¹+–P„2½;�–ÿþ:“:“:Ž‘Êœ;‘ÿþ¹2½‘L¹+“1;ޤ€�‘'the–.calculations›.are“no�¬rw˜simpler“since˜w�¬re“do“not˜need“to˜in�¬rtro�SŽduce“½g�ŸÌ̾Ž‘3’¹(½z‘ˆã;‘ÿþs¹).Ž¡�‘'In‘ê¨particularŽŸFy�‘i‘½L�ŸÌ̾Ž‘3’¹(2½–lo¹+›ª¨1)‘UR=���Ÿ÷áÅ�‘)oÀ½!��n9Ÿû¥2»2¾‘…í»+1ŽŽ‘ˆ…Ÿ[«‰zàL¦€Ÿ �ì�½f�Ÿû‡�‘Gÿ»2¾‘…í»+1ŽŸy¼�ÁŽŽ‘˜¹(2½“¹+˜1)ŽŽŽŽ���‘Tb6Ÿô™–ÃXŽŽŸ ÌÒ�‘Z  ¾ ŽŽ‘g·Œ½ šn9¹(½ –§¹)½}�Ÿû ™»(¾‘…í»)Ž‘ Ð ¹(½ “!˜=f�ŸÌÌÁŽ‘À¹)½:ŽŸ$Þ‡�‘8Ÿô¹W‘ÿVe–auillustrate›atthis“pro�SŽcess“b�¬ry˜calculating“½L�ŸÌÌ»1Ž›À¹(2)“and“½L�ŸÌÌ»2Ž˜¹(3).‘�FF‘ÿVor‘at½L�ŸÌÌ»1Ž˜¹(2)“w�¬reŽ¡�‘'ha•¬rv“e›꨽h�ŸÌÌ»1Ž‘À¹(½s¹)–UR=“0˜and˜½g�Ÿû¥2��n9»1ŽŸRA�1ŽŽ‘.=¹(½z›ˆã¹)“=“½}¹(½z˜¹),‘ê¨whenceޤÐI�’„ò"½g�Ÿû ™��n9ÁŽŸëÚ�»1ŽŽ›.=¹(½z‘ˆã;‘ÿþ¹2)–UR=“(��‘¶9Ž�½zŽŽ‘¨ÝÀ‘ª¨½��n9Ÿû ™Á»1Ž‘ ʵ½!��n9Ÿû ™»2Ž˜½‘è¹(½z–ˆã¹))½}¹(½z“¹)–ª¨+“½f�Ÿû ™�‘Gÿ»0ŽŸëÚ�1ŽŽ‘¹(½z‘ˆã¹)½:Ž¡�‘'¹But‘꨽f�Ÿû¥2�‘Gÿ»0ŽŸRA�1ŽŽ‘¹(½z›ˆã¹)–UR=“½��n9Ÿû¥2Á»1Ž‘ 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ÿômo�SŽdŽ‘&…64Ž¡�‘'and–꨽�ŸÌ̾pŽ‘¯¹=‘UR1“otherwise.ŽŸº9�‘8Ÿô6.›8àºThe–35c‘ÿffases“½n–UR¹=“5–35ºand“½n–UR¹=“10.˜[Not–ê¨y�¬ret“written]ŽŸ'P�’Áž€REFERENCESŽŸ!$�‘'[1]–L£Berndt,B.C.,›l>Ev‘ÿXäans,R.J.“and“Williams,K.S.,˜Gauss“and“Jacobi“Sums“(Wi-ަ�‘'ley‘ÿV,‘ê¨1998).ޤiÔ�‘'[2]–žÊBircš¬rh,B.J.“and“Swinnerton-Dy˜er,H.P‘ÿV.F.,‘­öNotes“on“elliptic‘žÉcurv˜es“IšSŽI,“J.“f˜‘ùÌvurަ�‘'reine›ê¨angew.–8àMath.“218(1965),˜79-108.Ž¡�‘'[3]–ÀZPincš¬rh,R.G.E.“and“Swinnerton-Dy˜er,H.P‘ÿV.F.,‘üArithmetic“of“diagonal“quarticަ�‘'surfaces–k}I,›k~in“L-functions“and“Arithmetic˜(ed.‘ »_J.Coates˜and“M.J.T‘ÿVa�¬rylor),ަ�‘'London›ê¨Math.–8àSo�SŽc.“Lecture˜Note˜series˜153˜(Cam�¬rbridge,˜1991).ŽŽŸ�’ä 28ŽŽŒ‹€† x€� ý¤€ =€� ýç€�‘'¹[4]– ~ShiošSŽda,T.,‘–4The“Ho˜dge“Conjecture“for“F›ÿVermat“V˜arieties,‘–3Math.‘ ¡bAnn.ޤ€�‘'245(1979),‘ê¨175-184.Ž©€�‘'[5]–&Swinnerton-Dyš¬rer,H.P‘ÿV.F.,‘”¦The“Conjectures“of“Birc˜h“and“Swinnerton-Dy˜er,Ž¡�‘'and–œpof“T‘ÿVate,‘ßHin“ProšSŽceedings“of“a“Conference“on“Lo˜cal“Fields“(ed.‘ÉxT.A.Springer)Ž¡�‘'(Springer,‘ê¨1967).ަ�‘'[6]–�IW‘ÿVashington,L.C.,‘µòIn�¬rtro�SŽduction“to“Cyclotomic“Fields“(2nd‘�Jed.,‘µñSpringer,Ž¡�‘'1991).ަ�‘'[7]–ßW‘ÿVeil,A.,› ­Jacobi‘Þsums“as“"Grossenc�¬rharaktere",˜T‘ÿVrans.–º…Amer.‘º„Math.“So�SŽc.Ž¡�‘'73(1952),487-495–ê¨=“Oeuvres“Scien�¬rti ques“I�SŽI,63-71.ަ�‘'[8]–èñW‘ÿVeil,A.,‘éISommes‘èðde“Jacobi“et“c•¬rharact“‘ús’eres–èñde“Hec•¬rk“e,‘éHG‘ú ott.‘8NNac“hr.(1974),Ž¡�‘'Nr–ê¨1“=“Oeuvres“Scien�¬rti ques“I•SŽI“I,329-342.ŽŽŸ�’ä 29ŽŽŒø�½ƒ’À;èx€­ó.DF‰” cmmib10ó%\—‚%eufm8ó$�%n² eufm10ó"2Ç@Écmbx8ó!ÂÖN  cmbx12ó—³îÍ msam10óú±u cmex10óq¡% cmsy6ó¾KÈ cmsy8ó!",š cmsy10ó;Îcmmi6ó×2cmmi8ó·ág£ cmmi12ó¹Aa¨cmr6ó|{Ycmr8󛻈@ cmti12óX«Q cmr12ù‘Gßßßßßß