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For a fluid with a finite temperature one has to add the pressure force¡||ó Ÿ¨Reformulating the Lorentz forceªŸ¨BUsing The force can be written as Then using the vector identity¡CCó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨OOne obtains Important parameter (also efficiency parameter) the plasma-beta¡PPóŸ¨$Writing the force in tensor notation¡%%$Ÿ¨8It is convenient to write the force in a tensor notation¡99óŸ¨Tensor notation¡$Ÿ¨QThe tension force Can be simplified using the divergence free magnetic field ¡RR/ðüó ó óóóóóóóêîbï € 0 ÒðÊ@ðPðbð( ð ðPðr ðP S ð€Hf¿ÿð=Kè·ðà  f ð žðr ðP S ð€üŠß ¿ÿðàV0ðà f ð žðf² ðP ƒ ð0A�ƒ¿ÀÿË>ÿ"ñ¿ ðØWàðî¢ ðP £ ð<€ôËß …‡¿�ƒ¿ÀÿðS tàç  ð‚Ÿ¨PEinstein summation, every index that appears twice is assumed to be summed over¡QQÿþðdB ðP€ £ ð<€D¿ÀÿË>Ñÿ?ðp¤´€ ðf² ðP ƒ ð0A�ƒ¿ÀÿË>ÿ"ñ¿ ðs tI» ðH ðP ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ)))€€€Ì™ÌÌ™™™3²²²ˆ8Š0º___PPT10‹ë.ÖRÈÐy!3îï € 0 Žð†`ð Xðð( ð ðXðr ðX S ð€�9ß ¿ÿð=Kè·ðà    ð žðr ðX S ð€Xýß ¿ÿðàV0ðà   ð žðf² ðX ƒ ð0A�ƒ¿ÀÿË>ÿ"ñ¿ ð"¢à*ðl² ðX “ ð6A�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ðc ¢Ö O ðl² ðX “ ð6A�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ðV Ï~ `ðÈ¢ ðX ³ ðB€äüß …‡¿�ƒ¿ÀÿË>ÿ"ñ¿ ðƒ•± j ðHŸ¨Divergence of a tensor¡ÿþðXB ðX€ ƒ ð0D¿ÀÿË>Ñÿðî =Õ ¤ðl² ð X “ ð6A�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ðƒ ”rðH ðX ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ)))€€€Ì™ÌÌ™™™3²²²ˆ8Š0º___PPT10‹ë.×RÈàÙÍ«ð ñ 0 Œð„PðTðð( ð ðTðX ðT C ð¿ÿ ð°Ð ðà  fð„ ðT S ð€ Zß ¿ÿ ð° °0Ððà  f 🪠ðH ðT ƒ ð0�ƒ“Þ½h”ŽŸ‹¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.ÖRÈÐy!3ð ñ 0 Œð„pð\ðð( ð ð\ðX ð\ C ð¿ÿ ð°Ð ðà   ð„ ð\ S ð€°úß ¿ÿ ð° °0Ððà    🪠ðH ð\ ƒ ð0�ƒ“Þ½h”ŽŸ‹¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.×RÈàJЫrßQ@¯c?mhSoõ™»QgqÅ1èƒé(€àà€ ò¬/È 0Ò 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Titles¾éCÁ%}ñ¾¦F5v?Î�C_£~v…­³³‡‚ÓüË©a‚!˜.:ˆçÇ¡ ”"ö³«—INÓüôŽg™)ËC0ÓEñãü8¬%+¦%¡¨œ¸ à§w�’ŒÝ £ƒøq~Öº·d¼4ÞŠC0:ˆçÇá–x~~NÅ�&¢÷r"UsÁè ~œ‡µáÍ›7-KpæV@0:ˆçÇa�ãzl§,Õ×²Ñ £ƒøq~V‹çççR)¢€JÕ·RU(M£ƒøq~VŽT*ˆ§Ô^A»ë*€`t?Î�ðãü8ôî¡’“:Š]­ç¼}ûöh#¤ü8¬Ö��aW~¼í9 ~Ö†çççŸ&±«ÖAËDS\ï` ?Ð/øq~øqàÇøqàÇ€~€~øq~øqàÇ€àÇ€~€~øqàÇ6ïÇ?;Düù­9nðH ×ýýs‚ ߟzeì%Ìÿ‰PNG  IHDRÐ@p°ÄsRGB®Îé pHYsšÛèah9PLTE999SSSzzzhhhlll‹‹‹™™™˜˜˜´´´§§§ÀÀÀ×××ÌÌÌáááõõõìììÿÿÿnÝ¿ —IDATxÚíœáb«ª…Áá¼ ¾ÿÃ^0Š�ÁÄÒ4‡õgg·i„ù# 275}‘H AS3tSS3tSS3tSS3tS3tSS3tSS3tSS3tSS3tS3tSS3tSS3tSS3tSS3tS3tSS3tSS3tSSCOœ½Ô¿ßD-øTëjCÞ`œ«÷¯dzFÄüù*#@—#�0ôÄF%l@ ÿõæOŒ™¹§•ÂiHŸGÛ÷®%"mÄòŽØ‹ùã TF€ ®<�„¡¹YÆ%¹�[Á€³™ D"鎚ÙÐZ\{bòh×ÄÀÈ 9zVé×$°HÒ¤…ê"ÀWž@ÂÐäa/SaPÚ¡f/f€Ž ‡ î=¤ÎdIÐS7ùVß‚7í׊–ëðt„ë"@üŒHZÖjá°!e$æhMˆíÁD‘™À]Ê'h Ó> oÁ›1t5³RÂÚ9١ʲ $zÁºJkEºmì¹æøh¶QUZƒ$h>ÎÿaCW#`Aa˜Ò†®‹ /œ@¢ƒ»ËÔìb±k B+Æ+Ÿ ~#ìŽ ¦ ]�€oIÊÐudU@ Ñ CÈX£…Sp�!8A ^¼�Íöeo÷ø-mèZJ 󇨀@ª@ªTi²¯UE aÕh–'hÛV󳆮Eà/º„@ªŠVa„ø«Œ1º5£‰$è~_¦éî¦jZÆÐ•ü%C—HõÂt¤Æª6 £%¿M¤¬Yû{fÐYCW"ð— ]B Þ Ô."Éϯkó†vµÏ‡Vì²î÷`ìÿ:ÛH-8‹oÌj ’{6ÏBjÐKㄽ$0±�”=·ÍÔEJÜ7zh…ê�q÷“¤¡«@ � @ \C�N 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For a fluid with a finite temperature one has to add the pressure force¡||ó Ÿ¨Reformulating the Lorentz forceªŸ¨BUsing The force can be written as Then using the vector identity¡CCó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨OOne obtains Important parameter (also efficiency parameter) the plasma-beta¡PPóŸ¨$Writing the force in tensor notation¡%%$Ÿ¨8It is convenient to write the force in a tensor notation¡99óŸ¨Tensor notation¡$Ÿ¨QThe tension force Can be simplified using the divergence free magnetic field ¡RRó Ÿ¨Tensor notation¡$Ÿ¨TNow write also the pressure force as a tensor The force can then be written as¡UU/ðó ó óóóóóóóó êîÈï €  0 8ð0€ð `ðÈð( ð ð`ðr ð` S ð€Œ6 ¿ÿð=Kè·ðà    ð žðr ð` S ð€01 ¿ÿðàV0ðà   ð žðl² ð` “ ð6A�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ðpt%È ðl² ð` “ ð6A�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ðP¢Q Zðl² ð` “ ð6A�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ðë -U) ðl ð ` “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿË>ÿ"ñ¿`ðë -YV ðXB ð `À ƒ ð0D¿ÀÿË>Ñÿð6 j˜ ðl² ð ` “ ð6A�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ðÁ ¢ÜÞðH ð` ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ)))€€€Ì™ÌÌ™™™3²²²ˆ8Š0º___PPT10‹ë.ØRÈ b^³ð ñ  0 Œð„�ðdðð( ð ðdðX ðd C ð¿ÿ ð°Ð ðà   ð„ ðd S 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¡¦¦óŸ¨Force on the plasma Ÿ¨QFor the electric field Define an average velocity Then for the magnetic field¡RRóŸ¨Force on the plasmaŸ¨]Averaged over all particles Now sum over all species The total force density therefore is ¡^^ó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨{This force contains only the electro-magnetic part. For a fluid with a finite temperature one has to add the pressure force¡||ó Ÿ¨Reformulating the Lorentz forceªŸ¨BUsing The force can be written as Then using the vector identity¡CCó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨OOne obtains Important parameter (also efficiency parameter) the plasma-beta¡PPóŸ¨$Writing the force in tensor notation¡%%$Ÿ¨8It is convenient to write the force in a tensor notation¡99óŸ¨Tensor notation¡$Ÿ¨QThe tension force Can be simplified using the divergence free magnetic field ¡RRó Ÿ¨Tensor notation¡$Ÿ¨TNow write also the pressure force as a tensor The force can then be written as¡UUó Ÿ¨Virial theoremª Ÿ¨tAssume an equilibrium exists, then the force must be zero Build a scalar quantity, to investigate the implication ¡uu/ð4ó ó óóóóóóóó ó êîôï €  0 dð\ ðhðôð( ð ðhðr ðh S ð€ f¿ÿð=Kè·ðà    ð žðr ðh S ð€<¨ß ¿ÿðàV0ðà   ð žðl² ðh “ ð6A�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ð¢m ðl² ðh “ ð6A�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ð6 ¢0 w ðl² ðh “ ð6A�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ðV ¢Y‡ðl² ðh “ ð6A�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ð–¢qàðH ðh ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð 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For a fluid with a finite temperature one has to add the pressure force¡||ó Ÿ¨Reformulating the Lorentz forceªŸ¨BUsing The force can be written as Then using the vector identity¡CCó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨OOne obtains Important parameter (also efficiency parameter) the plasma-beta¡PPóŸ¨$Writing the force in tensor notation¡%%$Ÿ¨8It is convenient to write the force in a tensor notation¡99óŸ¨Tensor notation¡$Ÿ¨QThe tension force Can be simplified using the divergence free magnetic field ¡RRó Ÿ¨Tensor notation¡$Ÿ¨TNow write also the pressure force as a tensor The force can then be written as¡UUó Ÿ¨Virial theoremª Ÿ¨tAssume an equilibrium exists, then the force must be zero Build a scalar quantity, to investigate the implication ¡uuó Ÿ¨Virial theorem¡ ª Ÿ >Using the relation One can rewrite the integral using Gauss s theorem Consider the plasma in a finite volume and extent the integration limits to infinity¡  /ðPó ó óóóóóóóó ó ó êîšï €  0  ðÀð pðšð( ð ðpðr ðp S ð€Ì ¿ÿð=Kè·ðà    ð žðr ðp S 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For a fluid with a finite temperature one has to add the pressure force¡||ó Ÿ¨Reformulating the Lorentz forceªŸ¨BUsing The force can be written as Then using the vector identity¡CCó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨OOne obtains Important parameter (also efficiency parameter) the plasma-beta¡PPóŸ¨$Writing the force in tensor notation¡%%$Ÿ¨8It is convenient to write the force in a tensor notation¡99óŸ¨Tensor notation¡$Ÿ¨QThe tension force Can be simplified using the divergence free magnetic field ¡RRó Ÿ¨Tensor notation¡$Ÿ¨TNow write also the pressure force as a tensor The force can then be written as¡UUó Ÿ¨Virial theoremª Ÿ¨tAssume an equilibrium exists, then the force must be zero Build a scalar quantity, to investigate the implication ¡uuó Ÿ¨Virial theorem¡ ª Ÿ >Using the relation One can rewrite the integral using Gauss s theorem Consider the plasma in a finite volume and extent the integration limits to infinity¡  ó Ÿ¨Virial theorem¡$ª Ÿ¨Z The magnetic field in the far field limit scales as So 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For a fluid with a finite temperature one has to add the pressure force¡||ó Ÿ¨Reformulating the Lorentz forceªŸ¨BUsing The force can be written as Then using the vector identity¡CCó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨OOne obtains Important parameter (also efficiency parameter) the plasma-beta¡PPóŸ¨$Writing the force in tensor notation¡%%$Ÿ¨8It is convenient to write the force in a tensor notation¡99óŸ¨Tensor notation¡$Ÿ¨QThe tension force Can be simplified using the divergence free magnetic field ¡RRó Ÿ¨Tensor notation¡$Ÿ¨TNow write also the pressure force as a tensor The force can then be written as¡UUó Ÿ¨Virial theoremª Ÿ¨tAssume an equilibrium exists, then the force must be zero Build a scalar quantity, to investigate the implication ¡uuó Ÿ¨Virial theorem¡ ª Ÿ >Using the relation One can rewrite the integral using Gauss s theorem Consider the plasma in a finite volume and extent the integration limits to infinity¡  ó Ÿ¨Virial theorem¡$ª Ÿ¨Z The magnetic field in the far field limit scales as So for a sufficient large radius ¡[[ó Ÿ¨Virial theorem¡$ª Ÿ¨ZFor a sufficient large volume We then have Contradiction: NO equilibrium can exist¡"[3(ÿþ/ðˆó ó óóóóóóóó ó ó ó ó êî€ï €  0 ððèð€ð€ð( ð ð€ðr ð€ S ð€È-ß ¿ÿð=Kè·ðà    ð žðr ð€ S ð€Ì ¿ÿðàV0ðà   ð žðl² ð€ “ ð6A$�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ð"¢Tvðl² ð€ “ ð6A�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ðS î¡ ðl² ð€ “ ð6A"�ƒ¿ÀÿË>ÿ?"ñ¿ ð  tõ ì ðH ð€ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ)))€€€Ì™ÌÌ™™™3²²²ˆ8Š0º___PPT10‹ë.áRÈp››nð ñ  0 Œð„ð„ðð( ð ð„ðX ð„ C ð¿ÿ ð°Ð ðà   ð„ ð„ S ð€Ü ¿ÿ ð° °0Ððà    🪠ðH ð„ ƒ ð0�ƒ“Þ½h”ŽŸ‹¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.áRÈp››nrsç "ªõ ™Oç¾ Å1è§é(€àà€ ò¬/È 0ÒÕä·DArialngsRomanT©T©Dé Ü–É 0Ü–Õ"·DTimes New RomanT©T©Dé Ü–É 0Ü–Õ ·DWingdingsRomanT©T©Dé Ü–É 0Ü–Õ¤€@ÿÿ¥ .©  @£nÿý?" dÿd@ÿÿïÿÿÿÿÿÿ  @@``€€ $ðð„"¨             !Oð02ð$éÙ"t&+Xt´FÞ}ÿóbð$RˆñÕán`òrËwêbÿNó2ð$ç…GˆNÉ7xÎô4æO¢ÿ|/Abð$¾@ë€ ÿ ?ôáO dªÿ½I2ð$döŸ>³Ò¶mÈHµ÷²â6´Ù²ú³Üÿ°ÚÿSn“2ð$n—!–£\·Ý¡ná=jN¶ÿ�*Ïù2ð$ŒŽÜ‹ó†J\H‡h`ƒÛÿ¶3l$2ð$㨢2ÒeàY�÷Á}î®íÿ90HÙbð$hñ¾øbSz÷SHìϰwÿ³"X2ð$ɈCžOÚõ¢ByA ¥\ ÿ 0Õmbð${ ,fl�ߢ?J€ûˆÙµÿõõ�2ð$:/Ö^ëò\“?ˆ˜Àó¨Çÿ‚!� bð$¨ÍÆÌô´…ð8%KƒªRMÿ ê¡2ð$jÉ8§ÝEà³ú”»-&ù½ÿ>1 ¨s ðŠ�‚ƒ„†A¿ÀÿÁÂÿÿÿÄÅAË>ÍÎÐÑÒÓÔÕ×ÿ"ñ¿ ñÿ@ñ÷ð8ó€ó€Ð3º“°öÊš;­”ÇÊš;úgþý4YdYdY ô–É 0þÿÿ”ÿÿÿpûppû@ <ý4dddd —‘w 0T© é ÿ ˆ8Š0º___PPT10‹ pµpµ?Ù Ú %ðh óŸ¨Physics of Fusion powerŸ¨/Lecture3 : Force on the plasma / Virial theoremª! óŸ¨Force on the plasma Ÿ¨¥The force on an individual particle due to the electro-magnetic field (s is species index) Assume a small volume such that Then the force per unit of volume is ¡¦¦óŸ¨Force on the plasma Ÿ¨QFor the electric field Define an average velocity Then for the magnetic field¡RRóŸ¨Force on the plasmaŸ¨]Averaged over all particles Now sum over all species The total force density therefore is ¡^^ó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨{This force contains only the electro-magnetic part. 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Only the He atoms are confined (neutrons escape the magnetic field) and therefore only 20% of the total fusion power is available for plasma heating ¡ó#Ÿ¨!n-T-tau is a measure of progress ¡""$ªŸ¨ÐOver the years the n-T-tau product shows an exponential increase Current experiments are close to break-even The next step ITER is expected to operate well above break-even but still somewhat below ignition¡ÑPѪ·óŸ¨Force on the plasma Ÿ¨¥The force on an individual particle due to the electro-magnetic field (s is species index) Assume a small volume such that Then the force per unit of volume is ¡¦¦óŸ¨Force on the plasma Ÿ¨QFor the electric field Define an average velocity Then for the magnetic field¡RRóŸ¨Force on the plasmaŸ¨]Averaged over all particles Now sum over all species The total force density therefore is ¡^^ó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨{This force contains only the electro-magnetic part. For a fluid with a finite temperature one has to add the pressure force¡||ó Ÿ¨Reformulating the Lorentz forceªŸ¨BUsing The force can be written as Then using the vector identity¡CCó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨OOne obtains Important parameter (also efficiency parameter) the plasma-beta¡PPóŸ¨$Writing the force in tensor notation¡%%$Ÿ¨8It is convenient to write the force in a tensor notation¡99óŸ¨Tensor notation¡$Ÿ¨QThe tension force Can be simplified using the divergence free magnetic field ¡RRó Ÿ¨Tensor notation¡$Ÿ¨TNow write also the pressure force as a tensor The force can then be written as¡UUó Ÿ¨Virial theoremª Ÿ¨tAssume an equilibrium exists, then the force must be zero Build a scalar quantity, to investigate the implication ¡uuó Ÿ¨Virial theorem¡ ª Ÿ >Using the relation One can rewrite the integral using Gauss s theorem Consider the plasma in a finite volume and extent the integration limits to infinity¡  ó Ÿ¨Virial theorem¡$ª Ÿ¨Z The magnetic field in the far field limit scales as So for a sufficient large radius ¡[[ó Ÿ¨Virial theorem¡$ª Ÿ¨ZFor a sufficient large volume We then have Contradiction: NO equilibrium can exist¡"[3(ÿþ/ðÜó ó óóóóóóóó ó ó ó ó ó$ó%ó&êîðï € 0 `ðX ðˆððð( ð ðˆðx ðˆ c ð$€ÐÑ ¿ÿˆð=Kè·ðà   ð žðx ðˆ c ð$€€Ü ¿ÿˆðàV0ðà   ð žðX² ðˆ ƒ ð0A%�ƒ¿Àÿ?ðc ÂÿG ðX² ðˆ ƒ ð0A&�ƒ¿Àÿ?ð»¥ë– ðH ðˆ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ)))€€€Ì™ÌÌ™™™3²²²ˆ8Š0º___PPT10‹ë.‡QÈ@s~îðï € 0 `ðX@ð�ððð( ð ð�ðx ð� c ð$€`¼ ¿ÿˆð=Kè·ðà  f ð žðx ð� c ð$€¼£ ¿ÿˆðàV0ðà f ð žðX² ð� ƒ ð0A'�ƒ¿Àÿ?ð9 wåðX² ð� ƒ ð0A&�ƒ¿Àÿ?ð� J�k ðH ð� ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ)))€€€Ì™ÌÌ™™™3²²²ˆ8Š0º___PPT10‹ë.ˆQÈ€O9NîÌï € 0 <ð4€ð ðÌð( ð ð ðx ð  c ð$€¬Ì ¿ÿˆð=Kè·ðà    ð žðx ð  c ð$€ÔÑ ¿ÿˆðàV“ ðà   ð žð”² ð  ã ðTA(�ƒ†Á¿ÀÅÁÿ ?ˆðbó 0~ðà  ðH ð  ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ)))€€€Ì™ÌÌ™™™3²²²ˆ8Š0º___PPT10‹ë.pQÈp3–+ðñ 0 ˜ð�0ðŒð(ð( ð ðŒð^ ðŒ S ð¿ÿ ˆð°Ð ðà  ðŠ ðŒ c ð$€°/ ¿ÿ ˆð° °0Ððà   🪠ðH ðŒ ƒ ð0�ƒ“Þ½h”ŽŸ‹¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.‡QÈ@s~ðñ 0 ˜ð�Pð”ð(ð( ð ð”ð^ ð” S ð¿ÿ ˆð°Ð ðà  ðŠ ð” c ð$€˜Ô ¿ÿ ˆð° °0Ððà   🪠ðH ð” ƒ ð0�ƒ“Þ½h”ŽŸ‹¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.ˆQÈ€À;Nðñ 0 ˜ð��ð¤ð(ð( ð ð¤ð^ ð¤ S ð¿ÿ ˆð°Ð ðà   ðŠ ð¤ c ð$€Äß ¿ÿ ˆð° °0Ððà    🪠ðH 𤠃 ð0�ƒ“Þ½h”ŽŸ‹¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.pQÈp3–+r$á"!`rCjFbI6LVNvPõ ™½"–R&Å1è‰ é(€àà€ ò¬/È 0ÒÕä·DArialngsRomanT©T©Dé Ü–É 0Ü–Õ"·DTimes New RomanT©T©Dé Ü–É 0Ü–Õ ·DWingdingsRomanýÿÿÿ‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�Ž��ò’“”•–—˜™š›œ�žŸ ¡¢£¤¥¦§¨©ª«¬­®¯°±²³´µ¶·¸¹º»¼½¾¿ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖרÙÚÛÜÝÞßàáâãäåæçèéêëìíîïðñþÿÿÿóôõö÷øùûýÿÿÿüýþÿT©T©Dé Ü–É 0Ü–Õ¤€@ÿÿ¥ .©  @£nÿý?" dÿd@ÿÿïÿÿÿÿÿÿ  @@``€€  ð ðX¤*¿%             !"#$%()�ðà2ð$éÙ"t&+Xt´FÞ}ÿóbð$RˆñÕán`òrËwêbÿNó2ð$ç…GˆNÉ7xÎô4æO¢ÿ|/Abð$¾@ë€ ÿ ?ôáO dªÿ½I2ð$döŸ>³Ò¶mÈHµ÷²â6´Ù²ú³Üÿ°ÚÿSn“2ð$n—!–£\·Ý¡ná=jN¶ÿ�*Ïù2ð$ŒŽÜ‹ó†J\H‡h`ƒÛÿ¶3l$2ð$㨢2ÒeàY�÷Á}î®íÿ90HÙbð$hñ¾øbSz÷SHìϰwÿ³"X2ð$ɈCžOÚõ¢ByA ¥\ ÿ 0Õmbð${ ,fl�ߢ?J€ûˆÙµÿõõ�2ð$:/Ö^ëò\“?ˆ˜Àó¨Çÿ‚!� bð$¨ÍÆÌô´…ð8%KƒªRMÿ ê¡2ð$jÉ8§ÝEà³ú”»-&ù½ÿ>1 ¨bð$cßãètµ ;eþ ÿ +2ð$}rN3òßã±üVJêÿð%dÿ�%52ð$Ç!Î4zœy«†3Ã\W4àÿàªZbð$+óýG×ô¯Òð€3BMÙÿHûŠws ðŠ�‚ƒ„†A¿ÀÿÁÂÿÿÿÄÅAË>ÍÎÐÑÒÓÔÕ×ÿ"ñ¿ ñÿ@ñ÷ð8ó€ó€Ð3º“°öÊš;­”ÇÊš;úgþý4YdYdY ô–É 0þÿÿ”ÿÿÿpûppû@ <ý4dddd —‘w 0T© é ÿ ˆ8Š0º___PPT10‹ pµpµ?Ù Ú %ðóŸ¨Physics of Fusion powerŸ¨/Lecture3 : Force on the plasma / Virial theoremª! ó!Ÿ¨ Break-even¡ $Ÿ¨ÑThe break-even condition is defined as the state in which the total fusion power is equal to the heating power Note that this does not imply that all the heating power is generated by the fusion reactions¡ÒÒó"Ÿ¨Ignition condition¡$Ÿ¨Ignition is defined as the state in which the energy produced by the fusion reactions is sufficient to heat the plasma. Only the He atoms are confined (neutrons escape the magnetic field) and therefore only 20% of the total fusion power is available for plasma heating ¡ó#Ÿ¨!n-T-tau is a measure of progress ¡""$ªŸ¨ÐOver the years the n-T-tau product shows an exponential increase Current experiments are close to break-even The next step ITER is expected to operate well above break-even but still somewhat below ignition¡ÑPѪ·óŸ¨Force on the plasma Ÿ¨¥The force on an individual particle due to the electro-magnetic field (s is species index) Assume a small volume such that Then the force per unit of volume is ¡¦¦óŸ¨Force on the plasma Ÿ¨QFor the electric field Define an average velocity Then for the magnetic field¡RRóŸ¨Force on the plasmaŸ¨]Averaged over all particles Now sum over all species The total force density therefore is ¡^^ó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨{This force contains only the electro-magnetic part. For a fluid with a finite temperature one has to add the pressure force¡||ó Ÿ¨Reformulating the Lorentz forceªŸ¨BUsing The force can be written as Then using the vector identity¡CCó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨OOne obtains Important parameter (also efficiency parameter) the plasma-beta¡PPóŸ¨$Writing the force in tensor notation¡%%$Ÿ¨8It is convenient to write the force in a tensor notation¡99óŸ¨Tensor notation¡$Ÿ¨QThe tension force Can be simplified using the divergence free magnetic field ¡RRó Ÿ¨Tensor notation¡$Ÿ¨TNow write also the pressure force as a tensor The force can then be written as¡UUó Ÿ¨Virial theoremª Ÿ¨tAssume an equilibrium exists, then the force must be zero Build a scalar quantity, to investigate the implication ¡uuó Ÿ¨Virial theorem¡ ª Ÿ >Using the relation One can rewrite the integral using Gauss s theorem Consider the plasma in a finite volume and extent the integration limits to infinity¡  ó Ÿ¨Virial theorem¡$ª Ÿ¨Z The magnetic field in the far field limit scales as So for a sufficient large radius ¡[[ó Ÿ¨Virial theorem¡$ª Ÿ¨ZFor a sufficient large volume We then have Contradiction: NO equilibrium can exist¡"[3(ÿþ/ðÜó ó óóóóóóóó ó ó ó ó ó$ó%ó&êræRõ ™ÂRws&Å1è§$é(€àà€ ò¬/È 0ÒW‹/6.±øïv$=©çl")‰�.(¶?IÞçÆ�Ãõ×'~š6 }û:Î088(ÉUI"™%~¶ÅψR~•0V¶™ÎTöh§¤ø#�ž@à³$Ü%]Ö7¶Æ·;åÌžøÁ,«'ŠNI1DI#i_Ó¦ÏãÒ)m #é| ¥ |›÷u¥-®Î·õ¾+ä¢ÒFÒázÕâÉJ‰îyQòHzC¸#!žg¦‘ÌCwâïRc ]dÜÉa—"i׊±—|\3T÷"™ïÓq/’)óîU¹žW7ãìj$3Ä$$ÅU¦TÁ4(ÂâºÒµ;¥Œ9EÂH–€áÀÝ.ßÒýH^ üxÜÝ›ºÉòÌ1üê+v˜:¨Y‡ŠE‹P½:¶m‹ T¿ù&nº ŸiCq�£n]tê„É“Õsü§žÂóÏãÙgQ¯~·ÜböÕg6¹ß~8à«­[“Îë�\zôPótÖ­‹,[¦žãO™‚W_Å#�àÔS-1„ï"YV¦bhK:Q•KŽ=¬Ž‡µuâ‹HÛ*Ðc˜÷"Ù»�J~h*5¾(®¥&‘Ü»wïôéÓ/¹ä’zõêmذAÎ,_¾¼¬¬¬C‡ .\¿~ýÑGýý÷ßËù&Mš¬[·NÊæîÝ»+UJD̓© ùÈí·ß.Ñ8÷Üsg̘¡ŸiÕª•|/]ºtÇŽâ[ÅŠõóÆDQãŒNrò/ù‹|÷Mžni¤TãÆ�W¯^­oÙ²E?¨�ü”;‘,æ»Ö‰.ãÇãÚk `ÎaÈðk¥ÔŸ³Îwµxtã�˜:#Gªv¥í¥¶S >!“GƯiç»æˆå6£G«Ê^ˆÁƒqÅؾ'ŸlqŸßL�ï›滚1*é ¤¿¥õ ¤ÍsŒ®xÒEÀ<¡)]Üœ*Õ©8I#èÅÑ|­³vd¾«óÉ﬇ŽMu«x5K2¹€9;?ÒIß|:©×$wñ[x54>ǵ$…6©îñÕ|WGš5zF&EÏoó] sJ×ʱ=oSì�y“•�]EÌù^ˆÊtíØ,¹m™ìÚÍCùéié2·oÿ/>Ó×<�Tÿó `uÂK×_-Ts>3Îwµüôf¼Äî?sOüÌ'À(àamÄúKÓ%ïg$ùán$34Ó3d¯þÓ¯)gŽÖ>ÂÒd÷]“»Éô1 êãô¼Â�Öå$mnö]Z�ôá,Igrf€ö]Üë´A›Ô[�šÔ[(œÔëžÇœÔë^Í4àTÐR¹Y’á™ïšþ9Š£ëñfR¯Ëõ­7ÅÕÃP½2‘z2lÏJwn“†¨>iŒdXð_$§MÃñÇ£E‹ØŸ¿ü¢–Ü’Êùˆ#ðùç¸ÿ~Ü~»:¹j•:Ó¸±šÚ©N?÷ݧ\nÛ–:°ë³HJd¦NÅܹ¸ì2µÞV«VX²mÚÄÂ-ÊIA"#1”“C¹D> ¨ózФà³H™pé¥Iêè14е÷È#Ѻuâä/¿ ŸE²-ÊêÄ¥Hz8Ù™ï‚o’>àôÓOŸ3gŽsÌ1 .,Ò·öíÛ/J_Ϥ뤆?#]èž�;VïIN‰š6mªÏ£†Ö™l×®�±òì'Ÿ|Ò¡Cã'Ø­á¹wï^hkÚ.� ¦þë·ß~ÛÂh!¥òŒtaôZ¢›sbíÚµúÁ‘ÒJ�4Ø–?}ôÑ–R•ZÈô\×WŽ6£çbºBòŒÔñêÅgÚ{sþ}B�µ˜û§UºE< #—WÖ 7y;KFÚ¦BÁ³ÀÓa¼ª¯³½i“ê-KoIbôÐCèØݺ©W&�×&MÂO¨ýâXœ|06oVç«VU].½Sé,qÏ%é²>þËò®„áÚì�#±ðÙöý3ûí§ò¬zõØý‰±«öH´Ê±è¶Ä³ú�õöÛ±«.ŠÉ<ƒ?T¹mt@rñ“O mñ[¼ò¹¼x’/ñ%Ÿ“ü7HÊÈR×Bér´¬,i€CY·S§ØÆý÷ë×&苎›_Ú:úhe‹Ç‹^½JôÜ(Eþ™Éàm¥Ý9K†*"3éÔY¼Éaˆ'ßò÷*û›U%Åûé–ì4'nj²8›P¹û–á…+ϳPÇûî‡VõËÿF¥äu€ì°Ë¿ØyϳPÇËŒ4¥ôYº¾ê*dÆÙ—CŠÇÃIX¶5§’$)=Š”¸½ }x8Ñ,ó{°þ5MÌÛÆŽúN³É�ï+ÃöD‰Ó–7¨\Ä��Ø�mËÐ?¦o”éljïÞe¡Ž÷i`›_ûL;Xepæ –Î¥ùvÖ[.Sß ted:\¶HK}�”Eæœ3ïÓ~Z4ÎçN–ý[,äÙb @F¸]ÍVˆ¿¤‹äœ³ðiüÅÔÆš}ÏãªIÚ[‚©¹òIŠ?‡k¯¶ÚæßàØ,ù¤ŒÌã™”yxÈÈŒœî‘æ8G'ß÷ßÉ×HãÕÑ)æ¸4Ù¥ù’NÙ¤ŒDîÕ¬­˜•Ô˜§ûfn‘,# $�1ÕükïIq³C¼b4Ê�‹#ÑÈÈÜp@ƒËãÏÇ |`FÆ(<hßz½jÖ¹~„*w˜‘ ÿ ; 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ó!Ÿ¨ Break-even¡ $Ÿ¨ÑThe break-even condition is defined as the state in which the total fusion power is equal to the heating power Note that this does not imply that all the heating power is generated by the fusion reactions¡ÒÒó"Ÿ¨Ignition condition¡$Ÿ¨Ignition is defined as the state in which the energy produced by the fusion reactions is sufficient to heat the plasma. Only the He atoms are confined (neutrons escape the magnetic fie  þÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿld) and therefore only 20% of the total fusion power is available for plasma heating ¡ó#Ÿ¨!n-T-tau is a measure of progress ¡""$ªŸ¨ÐOver the years the n-T-tau product shows an exponential increase Current experiments are close to break-even The next step ITER is expected to operate well above break-even but still somewhat below ignition¡ÑPѪ·óŸ¨Force on the plasma Ÿ¨¥The force on an individual particle due to the electro-magnetic field (s is species index) Assume a small volume such that Then the force per unit of volume is ¡¦¦óŸ¨Force on the plasma Ÿ¨QFor the electric field Define an average velocity Then for the magnetic field¡RRóŸ¨Force on the plasmaŸ¨]Averaged over all particles Now sum over all species The total force density therefore is ¡^^ó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨{This force contains only the electro-magnetic part. For a fluid with a finite temperature one has to add the pressure force¡||ó Ÿ¨Reformulating the Lorentz forceªŸ¨BUsing The force can be written as Then using the vector identity¡CCó Ÿ¨Force on the plasmaŸ¨OOne obtains Important parameter (also efficiency parameter) the plasma-beta¡PPóŸ¨$Writing the force in tensor notation¡%%$Ÿ¨8It is convenient to write the force in a tensor notation¡99óŸ¨Tensor notation¡$Ÿ¨QThe tension force Can be simplified using the divergence free magnetic field ¡RRó Ÿ¨Tensor notation¡$Ÿ¨TNow write also the pressure force as a tensor The force can then be written as¡UUó Ÿ¨Virial theoremª Ÿ¨tAssume an equilibrium exists, then the force must be zero Build a scalar quantity, to investigate the implication ¡uuó Ÿ¨Virial theorem¡ ª Ÿ >Using the relation One can rewrite the integral using Gauss s theorem Consider the plasma in a finite volume and extent the integration limits to infinity¡  ó Ÿ¨Virial theorem¡$ª Ÿ¨Z The magnetic field in the far field limit scales as So for a sufficient large radius ¡[[ó Ÿ¨Virial theorem¡$ª Ÿ¨ZFor a sufficient large volume We then have Contradiction: NO equilibrium can exist¡"[3(ÿþó'Ÿ¨Flux conservation¡$Ÿ¨When trying to change the magnetic flux through a metal ring an electric field is generated (Faraday) which drives a current such that it tries to conserve the flux The current eventually decays due to the resistivity A perfect conductor, however, would conserve the magnetic flux¡ªÎ Aó)Ÿ¨Flux conservation¡$Ÿ¨åA plasma is like a metal (electrons are free) A hot plasma has a small resistivity As a first approximation it is perfectly conducting Flux is then conserved but the fluid can be moving Flux is transported along with the fluid¡æZæªH “/ðó ó óóóóóóóó ó ó ó ó ó$ó%ó&ó(ó*êîÈï € 0 8ð0 ð¨ðÈð( ð ð¨ðr ð¨ S ð€H, ¿ÿð=Kè·ðà  ,  ð žðr ð¨ S ð€ n, ¿ÿðàV“ ðà ,  ð žðœ² ð¨ à ð\„…A)Á�ÿÿÿƒÿÿÿ¿Àÿ€€€inductionðó 0Ø ðà , ðH 𨠃 ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ)))€€€Ì™ÌÌ™™™3²²²ˆ8Š0º___PPT10‹ë.öRÈ Â*îØï € 0 Hð@Ðð´ðØð( ð ð´ðr ð´ S ð€�à, ¿ÿð=Kè·ðà  ,  ð žðr ð´ S ð€À³, ¿ÿðàV“ ðà ,  ð žð¬² ð´ à ðl„…A*Á$�ÿÿÿƒÿÿÿ¿Àÿ€€€flux_conservationðáó 0ÿ ðà ïðH ð´ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ)))€€€Ì™ÌÌ™™™3²²²ˆ8Š0º___PPT10‹ë.ûRÈ�œr“ð ñ 0 Œð„°ð¬ðð( ð ð¬ðX ð¬ C ð¿ÿ ð°Ð ðà  , ð„ ð¬ S ð€4A, ¿ÿ ð° °0Ððà  ,  🪠ðH 𬠃 ð0�ƒ“Þ½h”ŽŸ‹¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.öRÈ Â*ð ñ 0 Œð„àð¸ðð( ð ð¸ðX ð¸ C ð¿ÿ ð°Ð ðà  , ð„ ð¸ S ð€”S, ¿ÿ ð° °0Ððà  ,  🪠ðH 𸠃 ð0�ƒ“Þ½h”ŽŸ‹¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.ûRÈ�œr“r«s'@Z˜ ž*› õ™‡s2¢*Å1